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Resolución de integrales/ e^(4*x)/ e^(-a*x)/ (1-e^(-a*x))/(x*e^(4*x))

Integral de (1-e^(-a*x))/(x*e^(4*x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |       -a*x   
 |  1 - E       
 |  --------- dx
 |       4*x    
 |    x*E       
 |              
/               
0
∫011−e−axe4xx dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1 - e^{- a x}}{e^{4 x} x}\, dx 
Integral((1 - E^((-a)*x))/((x*E^(4*x))), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1−e−axe4xx=(eax−1)e−4xe−axx\frac{1 - e^{- a x}}{e^{4 x} x} = \frac{\left(e^{a x} - 1\right) e^{- 4 x} e^{- a x}}{x}

    2. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−(eau−1)e−4ue−auu) du\int \left(- \frac{\left(e^{\frac{a}{u}} - 1\right) e^{- \frac{4}{u}} e^{- \frac{a}{u}}}{u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(eau−1)e−4ue−auu du=−∫(eau−1)e−4ue−auu du\int \frac{\left(e^{\frac{a}{u}} - 1\right) e^{- \frac{4}{u}} e^{- \frac{a}{u}}}{u}\, du = - \int \frac{\left(e^{\frac{a}{u}} - 1\right) e^{- \frac{4}{u}} e^{- \frac{a}{u}}}{u}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (eau−1)e−4ue−auu=e−4uu−e−4ue−auu\frac{\left(e^{\frac{a}{u}} - 1\right) e^{- \frac{4}{u}} e^{- \frac{a}{u}}}{u} = \frac{e^{- \frac{4}{u}}}{u} - \frac{e^{- \frac{4}{u}} e^{- \frac{a}{u}}}{u}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

            Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

            ∫(−e−4uu) du\int \left(- \frac{e^{- 4 u}}{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫e−4uu du=−∫e−4uu du\int \frac{e^{- 4 u}}{u}\, du = - \int \frac{e^{- 4 u}}{u}\, du

                EiRule(a=-4, b=0, context=exp(-4*_u)/_u, symbol=_u)

              Por lo tanto, el resultado es: −Ei⁡(−4u)- \operatorname{Ei}{\left(- 4 u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −Ei⁡(−4u)- \operatorname{Ei}{\left(- \frac{4}{u} \right)}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−e−4ue−auu) du=−∫e−4ue−auu du\int \left(- \frac{e^{- \frac{4}{u}} e^{- \frac{a}{u}}}{u}\right)\, du = - \int \frac{e^{- \frac{4}{u}} e^{- \frac{a}{u}}}{u}\, du

            1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

              Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

              ∫(−e−4ue−auu) du\int \left(- \frac{e^{- 4 u} e^{- a u}}{u}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫e−4ue−uau du=−∫e−4ue−uau du\int \frac{e^{- 4 u} e^{- u a}}{u}\, du = - \int \frac{e^{- 4 u} e^{- u a}}{u}\, du

                  EiRule(a=-a - 4, b=0, context=exp(-4*_u)*exp(-_u*a)/_u, symbol=_u)

                Por lo tanto, el resultado es: −Ei⁡(u(−a−4))- \operatorname{Ei}{\left(u \left(- a - 4\right) \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −Ei⁡(−a−4u)- \operatorname{Ei}{\left(\frac{- a - 4}{u} \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: Ei⁡(−a−4u)\operatorname{Ei}{\left(\frac{- a - 4}{u} \right)}

          El resultado es: −Ei⁡(−4u)+Ei⁡(−a−4u)- \operatorname{Ei}{\left(- \frac{4}{u} \right)} + \operatorname{Ei}{\left(\frac{- a - 4}{u} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: Ei⁡(−4u)−Ei⁡(−a−4u)\operatorname{Ei}{\left(- \frac{4}{u} \right)} - \operatorname{Ei}{\left(\frac{- a - 4}{u} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      Ei⁡(−4x)−Ei⁡(x(−a−4))\operatorname{Ei}{\left(- 4 x \right)} - \operatorname{Ei}{\left(x \left(- a - 4\right) \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1−e−axe4xx=−e−4xe−axx+e−4xx\frac{1 - e^{- a x}}{e^{4 x} x} = - \frac{e^{- 4 x} e^{- a x}}{x} + \frac{e^{- 4 x}}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−e−4xe−axx) dx=−∫e−4xe−axx dx\int \left(- \frac{e^{- 4 x} e^{- a x}}{x}\right)\, dx = - \int \frac{e^{- 4 x} e^{- a x}}{x}\, dx

          EiRule(a=-a - 4, b=0, context=exp(-4*x)*exp((-a)*x)/x, symbol=x)

        Por lo tanto, el resultado es: −Ei⁡(x(−a−4))- \operatorname{Ei}{\left(x \left(- a - 4\right) \right)}

        EiRule(a=-4, b=0, context=exp(-4*x)/x, symbol=x)

      El resultado es: Ei⁡(−4x)−Ei⁡(x(−a−4))\operatorname{Ei}{\left(- 4 x \right)} - \operatorname{Ei}{\left(x \left(- a - 4\right) \right)}

  2. Ahora simplificar:

    Ei⁡(−4x)−Ei⁡(−x(a+4))\operatorname{Ei}{\left(- 4 x \right)} - \operatorname{Ei}{\left(- x \left(a + 4\right) \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    Ei⁡(−4x)−Ei⁡(−x(a+4))+constant\operatorname{Ei}{\left(- 4 x \right)} - \operatorname{Ei}{\left(- x \left(a + 4\right) \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

Ei⁡(−4x)−Ei⁡(−x(a+4))+constant\operatorname{Ei}{\left(- 4 x \right)} - \operatorname{Ei}{\left(- x \left(a + 4\right) \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                            
 |                                             
 |      -a*x                                   
 | 1 - E                                       
 | --------- dx = C - Ei(x*(-4 - a)) + Ei(-4*x)
 |      4*x                                    
 |   x*E                                       
 |                                             
/
∫1−e−axe4xx dx=C+Ei⁡(−4x)−Ei⁡(x(−a−4))\int \frac{1 - e^{- a x}}{e^{4 x} x}\, dx = C + \operatorname{Ei}{\left(- 4 x \right)} - \operatorname{Ei}{\left(x \left(- a - 4\right) \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
-Ei(-4 - a) - 2*log(2) + Ei(-4) + log(-4 - a)
log⁡(−a−4)−Ei⁡(−a−4)−2log⁡(2)+Ei⁡(−4)\log{\left(- a - 4 \right)} - \operatorname{Ei}{\left(- a - 4 \right)} - 2 \log{\left(2 \right)} + \operatorname{Ei}{\left(-4 \right)} 
=
= 
-Ei(-4 - a) - 2*log(2) + Ei(-4) + log(-4 - a)
log⁡(−a−4)−Ei⁡(−a−4)−2log⁡(2)+Ei⁡(−4)\log{\left(- a - 4 \right)} - \operatorname{Ei}{\left(- a - 4 \right)} - 2 \log{\left(2 \right)} + \operatorname{Ei}{\left(-4 \right)} 
-Ei(-4 - a) - 2*log(2) + Ei(-4) + log(-4 - a)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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