Integral de 4(2x-5)(2x-2pi-5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u^{2} - 20 u - 4 \pi u + 50 + 20 \pi\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 20 u\right)\, du = - 20 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 10 u^{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 u \pi\right)\, du = - 4 \pi \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u^{2} \pi$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 50\, du = 50 u$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 20 \pi\, du = 20 u \pi$

         El resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} - 10 u^{2} - 2 u^{2} \pi + 50 u + 20 u \pi$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{16 x^{3}}{3} - 40 x^{2} - 8 \pi x^{2} + 100 x + 40 \pi x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $4 \left(2 x - 5\right) \left(\left(2 x - 2 \pi\right) - 5\right) = 16 x^{2} + x \left(-80 - 16 \pi\right) + 100 + 40 \pi$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 16 x^{2}\, dx = 16 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int x \left(-80 - 16 \pi\right)\, dx = \left(-80 - 16 \pi\right) \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2} \left(-80 - 16 \pi\right)}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 100\, dx = 100 x$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 40 \pi\, dx = 40 \pi x$

      El resultado es: $\frac{16 x^{3}}{3} + \frac{x^{2} \left(-80 - 16 \pi\right)}{2} + 100 x + 40 \pi x$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $4 \left(2 x - 5\right) \left(\left(2 x - 2 \pi\right) - 5\right) = 16 x^{2} - 80 x - 16 \pi x + 100 + 40 \pi$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 16 x^{2}\, dx = 16 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 80 x\right)\, dx = - 80 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 40 x^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 16 \pi x\right)\, dx = - 16 \pi \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \pi x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 100\, dx = 100 x$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 40 \pi\, dx = 40 \pi x$

      El resultado es: $\frac{16 x^{3}}{3} - 40 x^{2} - 8 \pi x^{2} + 100 x + 40 \pi x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4 x \left(4 x^{2} - 30 x - 6 \pi x + 75 + 30 \pi\right)}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 x \left(4 x^{2} - 30 x - 6 \pi x + 75 + 30 \pi\right)}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 x \left(4 x^{2} - 30 x - 6 \pi x + 75 + 30 \pi\right)}{3}+ \mathrm{constant}$