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Resolución de integrales/ sin(2*x+pi/4)+cos(2*x+pi/4)

Integral de sin(2*x+pi/4)+cos(2*x+pi/4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  pi                                   
  --                                   
  8                                    
   /                                   
  |                                    
  |  /   /      pi\      /      pi\\   
  |  |sin|2*x + --| + cos|2*x + --|| dx
  |  \   \      4 /      \      4 //   
  |                                    
 /                                     
-pi                                    
----                                   
 8
∫−π8π8(sin⁡(2x+π4)+cos⁡(2x+π4)) dx\int\limits_{- \frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \left(\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)\, dx 
Integral(sin(2*x + pi/4) + cos(2*x + pi/4), (x, -pi/8, pi/8))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. que u=2x+π4u = 2 x + \frac{\pi}{4}.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −cos⁡(2x+π4)2- \frac{\cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}

    1. que u=2x+π4u = 2 x + \frac{\pi}{4}.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sin⁡(2x+π4)2\frac{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}

    El resultado es: sin⁡(2x+π4)2−cos⁡(2x+π4)2\frac{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    2sin⁡(2x)2\frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2sin⁡(2x)2+constant\frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2sin⁡(2x)2+constant\frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Gráfica
-0.35-0.30-0.25-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.100.150.200.250.300.352-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1
11 
=
= 
1
11 
1
Respuesta numérica [src] 
1.0
1.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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