Integral de lnxcosx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int u e^{u} \cos{\left(e^{u} \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u} \cos{\left(e^{u} \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. que $u = e^{u}$.

            Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\sin{\left(e^{u} \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. que $u = e^{u}$.

         Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\, du$

         SiRule(a=1, b=0, context=sin(_u)/_u, symbol=_u)

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\operatorname{Si}{\left(e^{u} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \operatorname{Si}{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

      SiRule(a=1, b=0, context=sin(x)/x, symbol=x)

2. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \operatorname{Si}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \operatorname{Si}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$