Integral de Sin^5*x/2*cos*x/2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{2} \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \frac{\sin^{5}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sin^{5}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin^{5}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{6}{\left(x \right)}}{6}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{5}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

         2. que $u = 1 - \cos^{2}{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{u^{2}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{6}{\left(x \right)}}{12}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{6}{\left(x \right)}}{24}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sin^{6}{\left(x \right)}}{24}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sin^{6}{\left(x \right)}}{24}+ \mathrm{constant}$