Integral de tg(3lnx-5)/(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 \log{\left(x \right)} - 5$.

      Luego que $du = \frac{3 dx}{x}$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\tan{\left(u \right)}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \tan{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \tan{\left(u \right)}\, du}{3}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\tan{\left(u \right)} = \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}$

         2. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 \log{\left(x \right)} - 5 \right)} \right)}}{3}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\tan{\left(3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 5 \right)}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\tan{\left(3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 5 \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\tan{\left(3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 5 \right)}}{u}\, du$

         1. que $u = 3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 5$.

            Luego que $du = - \frac{3 du}{u}$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

            $\int \left(- \frac{\tan{\left(u \right)}}{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \tan{\left(u \right)}\, du = - \frac{\int \tan{\left(u \right)}\, du}{3}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\tan{\left(u \right)} = \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}$

               2. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(\cos{\left(3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 5 \right)} \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 5 \right)} \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 \log{\left(x \right)} - 5 \right)} \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 \log{\left(x \right)} - 5 \right)} \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 \log{\left(x \right)} - 5 \right)} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 \log{\left(x \right)} - 5 \right)} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$