Integral de e^xcos(3e^x+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \cos{\left(3 u + 1 \right)}\, du$

      1. que $u = 3 u + 1$.

         Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(3 u + 1 \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin{\left(3 e^{x} + 1 \right)}}{3}$

   Método #2

   1. que $u = 3 e^{x} + 1$.

      Luego que $du = 3 e^{x} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin{\left(3 e^{x} + 1 \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sin{\left(3 e^{x} + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sin{\left(3 e^{x} + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$