Integral de 16*sin(x/2)^8 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 16 \sin^{8}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 16 \int \sin^{8}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin^{8}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{4}$

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{4} = \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{16} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{4} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{4} + \frac{1}{16}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx}{16}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

            2. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

            3. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                        1. que $u = 4 x$.

                           Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                              1. La integral del coseno es seno:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. que $u = 2 x$.

                     Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

               El resultado es: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{128} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{64} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{512}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx}{4}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

            2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

                  1. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                     El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

               Método #2

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

                     1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                        Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                        $\int u^{2}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

                  El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

               Método #3

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

                     1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                        Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                        $\int u^{2}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

                  El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{12} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{8}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. que $u = 2 x$.

                     Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{32}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{4}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$

         El resultado es: $\frac{35 x}{128} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{12} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{7 \sin{\left(2 x \right)}}{64} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{512}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{4} = \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{16} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{4} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{4} + \frac{1}{16}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx}{16}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

            2. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

            3. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                        1. que $u = 4 x$.

                           Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                              1. La integral del coseno es seno:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. que $u = 2 x$.

                     Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

               El resultado es: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{128} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{64} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{512}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx}{4}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

            2. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                  El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{12} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{8}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. que $u = 2 x$.

                     Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{32}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{4}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$

         El resultado es: $\frac{35 x}{128} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{12} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{7 \sin{\left(2 x \right)}}{64} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{512}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{35 x}{8} + \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 8 \sin{\left(x \right)} + \frac{7 \sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{35 x}{8} - 7 \sin{\left(x \right)} + \frac{7 \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{35 x}{8} - 7 \sin{\left(x \right)} + \frac{7 \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{35 x}{8} - 7 \sin{\left(x \right)} + \frac{7 \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}+ \mathrm{constant}$