Integral de sin(log2(x))/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x \log{\left(2 \right)}}$ y ponemos $du \log{\left(2 \right)}$:

      $\int \log{\left(2 \right)} \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \log{\left(2 \right)} \int \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(2 \right)} \cos{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \log{\left(2 \right)} \cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\sin{\left(\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\sin{\left(\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}}{u}\, du$

         1. que $u = \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u \log{\left(2 \right)}}$ y ponemos $- du \log{\left(2 \right)}$:

            $\int \left(- \log{\left(2 \right)} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \log{\left(2 \right)} \int \sin{\left(u \right)}\, du$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(2 \right)} \cos{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(2 \right)} \cos{\left(\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(2 \right)} \cos{\left(\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \log{\left(2 \right)} \cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- \log{\left(2 \right)} \cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \log{\left(2 \right)} \cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \log{\left(2 \right)} \cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}+ \mathrm{constant}$