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Resolución de integrales/ 1/cos/ cos^4/ 1/cos^4x

Integral de 1/cos^4x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     1      
 |  ------- dx
 |     4      
 |  cos (x)   
 |            
/             
0
∫011cos⁡4(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\cos^{4}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(1/(cos(x)^4), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sec⁡4(x)=(tan⁡2(x)+1)sec⁡2(x)\sec^{4}{\left(x \right)} = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

      Luego que du=(tan⁡2(x)+1)dxdu = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx y ponemos dudu:

      ∫(u2+1) du\int \left(u^{2} + 1\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 du=u\int 1\, du = u

        El resultado es: u33+u\frac{u^{3}}{3} + u

      Si ahora sustituir uu más en:

      tan⁡3(x)3+tan⁡(x)\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (tan⁡2(x)+1)sec⁡2(x)=tan⁡2(x)sec⁡2(x)+sec⁡2(x)\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

        Luego que du=(tan⁡2(x)+1)dxdu = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx y ponemos dudu:

        ∫u2 du\int u^{2}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        tan⁡3(x)3\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. ∫sec⁡2(x) dx=tan⁡(x)\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}

      El resultado es: tan⁡3(x)3+tan⁡(x)\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (tan⁡2(x)+1)sec⁡2(x)=tan⁡2(x)sec⁡2(x)+sec⁡2(x)\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

        Luego que du=(tan⁡2(x)+1)dxdu = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx y ponemos dudu:

        ∫u2 du\int u^{2}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        tan⁡3(x)3\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. ∫sec⁡2(x) dx=tan⁡(x)\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}

      El resultado es: tan⁡3(x)3+tan⁡(x)\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    tan⁡3(x)3+tan⁡(x)+constant\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

tan⁡3(x)3+tan⁡(x)+constant\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                 
 |                     3            
 |    1             tan (x)         
 | ------- dx = C + ------- + tan(x)
 |    4                3            
 | cos (x)                          
 |                                  
/
∫1cos⁡4(x) dx=C+tan⁡3(x)3+tan⁡(x)\int \frac{1}{\cos^{4}{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  sin(1)    2*sin(1)
--------- + --------
     3      3*cos(1)
3*cos (1)
2sin⁡(1)3cos⁡(1)+sin⁡(1)3cos⁡3(1)\frac{2 \sin{\left(1 \right)}}{3 \cos{\left(1 \right)}} + \frac{\sin{\left(1 \right)}}{3 \cos^{3}{\left(1 \right)}} 
=
= 
  sin(1)    2*sin(1)
--------- + --------
     3      3*cos(1)
3*cos (1)
2sin⁡(1)3cos⁡(1)+sin⁡(1)3cos⁡3(1)\frac{2 \sin{\left(1 \right)}}{3 \cos{\left(1 \right)}} + \frac{\sin{\left(1 \right)}}{3 \cos^{3}{\left(1 \right)}} 
sin(1)/(3*cos(1)^3) + 2*sin(1)/(3*cos(1))
Respuesta numérica [src] 
2.81658164059915
2.81658164059915

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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