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¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de (-6+9*x^2)/x^2
Integral de 3*exp(-3*x)
Integral de (3x+1)dx
Integral de √(2+x^2)
Expresiones idénticas
(a^ dos)*sin^ seis (x/ tres)
(a al cuadrado ) multiplicar por seno de en el grado 6(x dividir por 3)
(a en el grado dos) multiplicar por seno de en el grado seis (x dividir por tres)
(a2)*sin6(x/3)
a2*sin6x/3
(a²)*sin⁶(x/3)
(a en el grado 2)*sin en el grado 6(x/3)
(a^2)sin^6(x/3)
(a2)sin6(x/3)
a2sin6x/3
a^2sin^6x/3
(a^2)*sin^6(x dividir por 3)
(a^2)*sin^6(x/3)dx
Expresiones con funciones
Seno sin
sin(x)/(x^3+1)
sin(x)x^2
sin(x)/(sqrt(1-x^2))
sin(x)×sin(x)×sin(x)
sin(x)sin(x)cos(x)

Resolución de integrales/ sin^6/ (x/3)/ (a^2)*sin^6(x/3)

Integral de (a^2)*sin^6(x/3) dx

Solución

Ha introducido [src]

 3*pi             
 ----             
  2               
   /              
  |               
  |   2    6/x\   
  |  a *sin |-| dx
  |         \3/   
  |               
 /                
 pi

$$\int\limits_{\pi}^{\frac{3 \pi}{2}} a^{2} \sin^{6}{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx$$

Integral(a^2*sin(x/3)^6, (x, pi, 3*pi/2))

Solución detallada

La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

$\int a^{2} \sin^{6}{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx = a^{2} \int \sin^{6}{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx$
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\sin^{6}{\left(\frac{x}{3} \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}\right)^{3}$
2. Hay varias maneras de calcular esta integral.
  Método #1
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\, dx}{8}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\right) \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$
      
      Hay varias maneras de calcular esta integral.
      
      Método #1
      
      que $u = \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} dx}{3}$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(\frac{3}{2} - \frac{3 u^{2}}{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{3}{2}\, du = \frac{3 u}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{3 u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{3 \int u^{2}\, du}{2}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{2}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{2} + \frac{3 u}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2} + \frac{3 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}$
      
      Método #2
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\right) \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = - \sin^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} dx}{3}$ y ponemos $\frac{3 du}{2}$ :
      
      $\int \frac{3 u^{2}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{3 \int u^{2}\, du}{2}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}$
      
      que $u = \frac{2 x}{3}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 dx}{3}$ y ponemos $\frac{3 du}{2}$ :
      
      $\int \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{3 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{3 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}$
      
      El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2} + \frac{3 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}$
      
      Método #3
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\right) \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = - \sin^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} dx}{3}$ y ponemos $\frac{3 du}{2}$ :
      
      $\int \frac{3 u^{2}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{3 \int u^{2}\, du}{2}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}$
      
      que $u = \frac{2 x}{3}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 dx}{3}$ y ponemos $\frac{3 du}{2}$ :
      
      $\int \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{3 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{3 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}$
      
      El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2} + \frac{3 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{16} - \frac{3 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{16}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\, dx}{8}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{4 x}{3} \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(\frac{4 x}{3} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(\frac{4 x}{3} \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = \frac{4 x}{3}$ .
      
      Luego que $du = \frac{4 dx}{3}$ y ponemos $\frac{3 du}{4}$ :
      
      $\int \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{3 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{3 \sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)}}{8}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{3 \sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)}}{8}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{16} + \frac{9 \sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)}}{64}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{3 \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\, dx}{8}$
      
      que $u = \frac{2 x}{3}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 dx}{3}$ y ponemos $\frac{3 du}{2}$ :
      
      $\int \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{3 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{3 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{16}$
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
    El resultado es: $\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{16} - \frac{3 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{4} + \frac{9 \sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)}}{64}$
  Método #2
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\, dx}{8}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\right) \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$
      
      que $u = \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} dx}{3}$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(\frac{3}{2} - \frac{3 u^{2}}{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{3}{2}\, du = \frac{3 u}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{3 u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{3 \int u^{2}\, du}{2}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{2}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{2} + \frac{3 u}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2} + \frac{3 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{16} - \frac{3 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{16}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\, dx}{8}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{4 x}{3} \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(\frac{4 x}{3} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(\frac{4 x}{3} \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = \frac{4 x}{3}$ .
      
      Luego que $du = \frac{4 dx}{3}$ y ponemos $\frac{3 du}{4}$ :
      
      $\int \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{3 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{3 \sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)}}{8}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{3 \sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)}}{8}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{16} + \frac{9 \sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)}}{64}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{3 \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\, dx}{8}$
      
      que $u = \frac{2 x}{3}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 dx}{3}$ y ponemos $\frac{3 du}{2}$ :
      
      $\int \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{3 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{3 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{16}$
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
    El resultado es: $\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{16} - \frac{3 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{4} + \frac{9 \sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)}}{64}$
Por lo tanto, el resultado es: $a^{2} \left(\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{16} - \frac{3 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{4} + \frac{9 \sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)}}{64}\right)$
Ahora simplificar:

$\frac{a^{2} \left(20 x - 45 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + 9 \sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)} - \sin{\left(2 x \right)}\right)}{64}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{a^{2} \left(20 x - 45 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + 9 \sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)} - \sin{\left(2 x \right)}\right)}{64}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{a^{2} \left(20 x - 45 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + 9 \sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)} - \sin{\left(2 x \right)}\right)}{64}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                       /       /2*x\      3/2*x\              /4*x\\
 |                        |  3*sin|---|   sin |---|         9*sin|---||
 |  2    6/x\           2 |       \ 3 /       \ 3 /   5*x        \ 3 /|
 | a *sin |-| dx = C + a *|- ---------- + --------- + --- + ----------|
 |        \3/             \      4            16       16       64    /
 |                                                                     
/

$$\int a^{2} \sin^{6}{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx = C + a^{2} \left(\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{16} - \frac{3 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{4} + \frac{9 \sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)}}{64}\right)$$

Simplificar

Respuesta [src]

     /       ___       \          2
   2 |  27*\/ 3    5*pi|   15*pi*a 
- a *|- -------- + ----| + --------
     \     64       16 /      32

$$- a^{2} \left(- \frac{27 \sqrt{3}}{64} + \frac{5 \pi}{16}\right) + \frac{15 \pi a^{2}}{32}$$

     /       ___       \          2
   2 |  27*\/ 3    5*pi|   15*pi*a 
- a *|- -------- + ----| + --------
     \     64       16 /      32

$$- a^{2} \left(- \frac{27 \sqrt{3}}{64} + \frac{5 \pi}{16}\right) + \frac{15 \pi a^{2}}{32}$$

-a^2*(-27*sqrt(3)/64 + 5*pi/16) + 15*pi*a^2/32

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de (a^2)*sin^6(x/3) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #1

Método #2

Método #3

Método #2