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Resolución de integrales/ x^2-1/ x*(x^2-1)^3

Integral de x*(x^2-1)^3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |            3   
 |    / 2    \    
 |  x*\x  - 1/  dx
 |                
/                 
0
∫01x(x2−1)3 dx\int\limits_{0}^{1} x \left(x^{2} - 1\right)^{3}\, dx 
Integral(x*(x^2 - 1)^3, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=x2−1u = x^{2} - 1.

      Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫u32 du\int \frac{u^{3}}{2}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u3 du=∫u3 du2\int u^{3}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{2}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: u48\frac{u^{4}}{8}

      Si ahora sustituir uu más en:

      (x2−1)48\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{4}}{8}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(x2−1)3=x7−3x5+3x3−xx \left(x^{2} - 1\right)^{3} = x^{7} - 3 x^{5} + 3 x^{3} - x

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x7 dx=x88\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3x5) dx=−3∫x5 dx\int \left(- 3 x^{5}\right)\, dx = - 3 \int x^{5}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x5 dx=x66\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: −x62- \frac{x^{6}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x3 dx=3∫x3 dx\int 3 x^{3}\, dx = 3 \int x^{3}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x44\frac{3 x^{4}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x) dx=−∫x dx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −x22- \frac{x^{2}}{2}

      El resultado es: x88−x62+3x44−x22\frac{x^{8}}{8} - \frac{x^{6}}{2} + \frac{3 x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    (x2−1)48\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{4}}{8}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (x2−1)48+constant\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{4}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(x2−1)48+constant\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{4}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                              
 |                              4
 |           3          / 2    \ 
 |   / 2    \           \x  - 1/ 
 | x*\x  - 1/  dx = C + ---------
 |                          8    
/
∫x(x2−1)3 dx=C+(x2−1)48\int x \left(x^{2} - 1\right)^{3}\, dx = C + \frac{\left(x^{2} - 1\right)^{4}}{8}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.25-0.25
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-1/8
−18- \frac{1}{8} 
=
= 
-1/8
−18- \frac{1}{8} 
-1/8
Respuesta numérica [src] 
-0.125
-0.125

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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