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Resolución de integrales/ sin^5/ cos^2/ sin^5(x)*cos^2x

Integral de sin^5(x)*cos^2x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |     5       2      
 |  sin (x)*cos (x) dx
 |                    
/                     
0
∫01sin⁡5(x)cos⁡2(x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(sin(x)^5*cos(x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡5(x)cos⁡2(x)=(1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)cos⁡2(x)\sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

      Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      ∫(−u6+2u4−u2) du\int \left(- u^{6} + 2 u^{4} - u^{2}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−u6) du=−∫u6 du\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Por lo tanto, el resultado es: −u77- \frac{u^{7}}{7}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2u4 du=2∫u4 du\int 2 u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: 2u55\frac{2 u^{5}}{5}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

        El resultado es: −u77+2u55−u33- \frac{u^{7}}{7} + \frac{2 u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −cos⁡7(x)7+2cos⁡5(x)5−cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)cos⁡2(x)=sin⁡(x)cos⁡6(x)−2sin⁡(x)cos⁡4(x)+sin⁡(x)cos⁡2(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u6) du\int \left(- u^{6}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u6 du=−∫u6 du\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Por lo tanto, el resultado es: −u77- \frac{u^{7}}{7}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡7(x)7- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡(x)cos⁡4(x)) dx=−2∫sin⁡(x)cos⁡4(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡5(x)5\frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      El resultado es: −cos⁡7(x)7+2cos⁡5(x)5−cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)cos⁡2(x)=sin⁡(x)cos⁡6(x)−2sin⁡(x)cos⁡4(x)+sin⁡(x)cos⁡2(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u6) du\int \left(- u^{6}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u6 du=−∫u6 du\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Por lo tanto, el resultado es: −u77- \frac{u^{7}}{7}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡7(x)7- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡(x)cos⁡4(x)) dx=−2∫sin⁡(x)cos⁡4(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡5(x)5\frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      El resultado es: −cos⁡7(x)7+2cos⁡5(x)5−cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

  3. Ahora simplificar:

    −(15sin⁡4(x)+12sin⁡2(x)+8)cos⁡3(x)105- \frac{\left(15 \sin^{4}{\left(x \right)} + 12 \sin^{2}{\left(x \right)} + 8\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{105}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −(15sin⁡4(x)+12sin⁡2(x)+8)cos⁡3(x)105+constant- \frac{\left(15 \sin^{4}{\left(x \right)} + 12 \sin^{2}{\left(x \right)} + 8\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{105}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−(15sin⁡4(x)+12sin⁡2(x)+8)cos⁡3(x)105+constant- \frac{\left(15 \sin^{4}{\left(x \right)} + 12 \sin^{2}{\left(x \right)} + 8\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{105}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                      
 |                             3         7           5   
 |    5       2             cos (x)   cos (x)   2*cos (x)
 | sin (x)*cos (x) dx = C - ------- - ------- + ---------
 |                             3         7          5    
/
∫sin⁡5(x)cos⁡2(x) dx=C−cos⁡7(x)7+2cos⁡5(x)5−cos⁡3(x)3\int \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.2-0.2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
         3         7           5   
 8    cos (1)   cos (1)   2*cos (1)
--- - ------- - ------- + ---------
105      3         7          5
−cos⁡3(1)3−cos⁡7(1)7+2cos⁡5(1)5+8105- \frac{\cos^{3}{\left(1 \right)}}{3} - \frac{\cos^{7}{\left(1 \right)}}{7} + \frac{2 \cos^{5}{\left(1 \right)}}{5} + \frac{8}{105} 
=
= 
         3         7           5   
 8    cos (1)   cos (1)   2*cos (1)
--- - ------- - ------- + ---------
105      3         7          5
−cos⁡3(1)3−cos⁡7(1)7+2cos⁡5(1)5+8105- \frac{\cos^{3}{\left(1 \right)}}{3} - \frac{\cos^{7}{\left(1 \right)}}{7} + \frac{2 \cos^{5}{\left(1 \right)}}{5} + \frac{8}{105} 
8/105 - cos(1)^3/3 - cos(1)^7/7 + 2*cos(1)^5/5
Respuesta numérica [src] 
0.0401120849210232
0.0401120849210232

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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