Integral de (4y-8)-(y-2)^3 dy

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \left(y - 2\right)^{3}\right)\, dy = - \int \left(y - 2\right)^{3}\, dy$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = y - 2$.

            Luego que $du = dy$ y ponemos $du$:

            $\int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(y - 2\right)^{4}}{4}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(y - 2\right)^{3} = y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int y^{3}\, dy = \frac{y^{4}}{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 6 y^{2}\right)\, dy = - 6 \int y^{2}\, dy$

               1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 y^{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 12 y\, dy = 12 \int y\, dy$

               1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $6 y^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-8\right)\, dy = - 8 y$

            El resultado es: $\frac{y^{4}}{4} - 2 y^{3} + 6 y^{2} - 8 y$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(y - 2\right)^{4}}{4}$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 y\, dy = 4 \int y\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 y^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-8\right)\, dy = - 8 y$

      El resultado es: $2 y^{2} - 8 y$

   El resultado es: $2 y^{2} - 8 y - \frac{\left(y - 2\right)^{4}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $2 y^{2} - 8 y - \frac{\left(y - 2\right)^{4}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 y^{2} - 8 y - \frac{\left(y - 2\right)^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 y^{2} - 8 y - \frac{\left(y - 2\right)^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$