Sr Examen

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Integral de x*(1-x/2)^n dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1              
  /              
 |               
 |           n   
 |    /    x\    
 |  x*|1 - -|  dx
 |    \    2/    
 |               
/                
0                
$$\int\limits_{0}^{1} x \left(- \frac{x}{2} + 1\right)^{n}\, dx$$
Integral(x*(1 - x/2)^n, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Vuelva a escribir el integrando:

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

    Por lo tanto, el resultado es:

  3. Ahora simplificar:

  4. Añadimos la constante de integración:


Respuesta:

Respuesta (Indefinida) [src]
                           //               2      2*log(-2 + x)   x*log(-2 + x)                       \
  /                        ||           - ------ - ------------- + -------------             for n = -2|
 |                         ||             -2 + x       -2 + x          -2 + x                          |
 |          n              ||                                                                          |
 |   /    x\            -n ||                      -x - 2*log(-2 + x)                        for n = -1|
 | x*|1 - -|  dx = C + 2  *|<                                                                          |
 |   \    2/               ||            n     2        n       2        n                n            |
 |                         ||   4*(2 - x)     x *(2 - x)     n*x *(2 - x)    2*n*x*(2 - x)             |
/                          ||- ------------ + ------------ + ------------- - --------------  otherwise |
                           ||       2              2               2               2                   |
                           \\  2 + n  + 3*n   2 + n  + 3*n    2 + n  + 3*n    2 + n  + 3*n             /
$$\int x \left(- \frac{x}{2} + 1\right)^{n}\, dx = C + 2^{- n} \left(\begin{cases} \frac{x \log{\left(x - 2 \right)}}{x - 2} - \frac{2 \log{\left(x - 2 \right)}}{x - 2} - \frac{2}{x - 2} & \text{for}\: n = -2 \\- x - 2 \log{\left(x - 2 \right)} & \text{for}\: n = -1 \\\frac{n x^{2} \left(2 - x\right)^{n}}{n^{2} + 3 n + 2} - \frac{2 n x \left(2 - x\right)^{n}}{n^{2} + 3 n + 2} + \frac{x^{2} \left(2 - x\right)^{n}}{n^{2} + 3 n + 2} - \frac{4 \left(2 - x\right)^{n}}{n^{2} + 3 n + 2} & \text{otherwise} \end{cases}\right)$$
Respuesta [src]
/                             4 - 4*log(2)                                for n = -2
|                                                                                   
|                             -2 + 4*log(2)                               for n = -1
|                                                                                   
<                                                              n                    
|            3                       n                      4*2                     
|- --------------------- - --------------------- + ---------------------  otherwise 
|     n    n  2        n      n    n  2        n      n    n  2        n            
\  2*2  + 2 *n  + 3*n*2    2*2  + 2 *n  + 3*n*2    2*2  + 2 *n  + 3*n*2             
$$\begin{cases} 4 - 4 \log{\left(2 \right)} & \text{for}\: n = -2 \\-2 + 4 \log{\left(2 \right)} & \text{for}\: n = -1 \\\frac{4 \cdot 2^{n}}{2^{n} n^{2} + 3 \cdot 2^{n} n + 2 \cdot 2^{n}} - \frac{n}{2^{n} n^{2} + 3 \cdot 2^{n} n + 2 \cdot 2^{n}} - \frac{3}{2^{n} n^{2} + 3 \cdot 2^{n} n + 2 \cdot 2^{n}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
=
=
/                             4 - 4*log(2)                                for n = -2
|                                                                                   
|                             -2 + 4*log(2)                               for n = -1
|                                                                                   
<                                                              n                    
|            3                       n                      4*2                     
|- --------------------- - --------------------- + ---------------------  otherwise 
|     n    n  2        n      n    n  2        n      n    n  2        n            
\  2*2  + 2 *n  + 3*n*2    2*2  + 2 *n  + 3*n*2    2*2  + 2 *n  + 3*n*2             
$$\begin{cases} 4 - 4 \log{\left(2 \right)} & \text{for}\: n = -2 \\-2 + 4 \log{\left(2 \right)} & \text{for}\: n = -1 \\\frac{4 \cdot 2^{n}}{2^{n} n^{2} + 3 \cdot 2^{n} n + 2 \cdot 2^{n}} - \frac{n}{2^{n} n^{2} + 3 \cdot 2^{n} n + 2 \cdot 2^{n}} - \frac{3}{2^{n} n^{2} + 3 \cdot 2^{n} n + 2 \cdot 2^{n}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Piecewise((4 - 4*log(2), n = -2), (-2 + 4*log(2), n = -1), (-3/(2*2^n + 2^n*n^2 + 3*n*2^n) - n/(2*2^n + 2^n*n^2 + 3*n*2^n) + 4*2^n/(2*2^n + 2^n*n^2 + 3*n*2^n), True))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.