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Resolución de integrales/ 1/x^2/ (x+1)/ (x+1)(e^(1/x^2)-1)

Integral de (x+1)(e^(1/x^2)-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo                     
  /                     
 |                      
 |          / 1     \   
 |          | --    |   
 |          |  2    |   
 |          | x     |   
 |  (x + 1)*\E   - 1/ dx
 |                      
/                       
1
∫1∞(e1x2−1)(x+1) dx\int\limits_{1}^{\infty} \left(e^{\frac{1}{x^{2}}} - 1\right) \left(x + 1\right)\, dx 
Integral((x + 1)*(E^(1/(x^2)) - 1), (x, 1, oo))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (e1x2−1)(x+1)=xe1x2−x+e1x2−1\left(e^{\frac{1}{x^{2}}} - 1\right) \left(x + 1\right) = x e^{\frac{1}{x^{2}}} - x + e^{\frac{1}{x^{2}}} - 1

    2. Integramos término a término:

      1. que u=1x2u = \frac{1}{x^{2}}.

        Luego que du=−2dxx3du = - \frac{2 dx}{x^{3}} y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

        ∫(−eu2u2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2 u^{2}}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫euu2 du=−∫euu2 du2\int \frac{e^{u}}{u^{2}}\, du = - \frac{\int \frac{e^{u}}{u^{2}}\, du}{2}

            UpperGammaRule(a=1, e=-2, context=exp(_u)/_u**2, symbol=_u)

          Por lo tanto, el resultado es: E⁡2(−u)2u\frac{\operatorname{E}_{2}\left(- u\right)}{2 u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x2E⁡2(−1x2)2\frac{x^{2} \operatorname{E}_{2}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x) dx=−∫x dx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −x22- \frac{x^{2}}{2}

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        xe1x2+iπerf⁡(ix)x e^{\frac{1}{x^{2}}} + i \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\frac{i}{x} \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

      El resultado es: x2E⁡2(−1x2)2−x22+xe1x2−x+iπerf⁡(ix)\frac{x^{2} \operatorname{E}_{2}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}{2} - \frac{x^{2}}{2} + x e^{\frac{1}{x^{2}}} - x + i \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\frac{i}{x} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (e1x2−1)(x+1)=xe1x2−x+e1x2−1\left(e^{\frac{1}{x^{2}}} - 1\right) \left(x + 1\right) = x e^{\frac{1}{x^{2}}} - x + e^{\frac{1}{x^{2}}} - 1

    2. Integramos término a término:

      1. que u=1x2u = \frac{1}{x^{2}}.

        Luego que du=−2dxx3du = - \frac{2 dx}{x^{3}} y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

        ∫(−eu2u2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2 u^{2}}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫euu2 du=−∫euu2 du2\int \frac{e^{u}}{u^{2}}\, du = - \frac{\int \frac{e^{u}}{u^{2}}\, du}{2}

            UpperGammaRule(a=1, e=-2, context=exp(_u)/_u**2, symbol=_u)

          Por lo tanto, el resultado es: E⁡2(−u)2u\frac{\operatorname{E}_{2}\left(- u\right)}{2 u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x2E⁡2(−1x2)2\frac{x^{2} \operatorname{E}_{2}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x) dx=−∫x dx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −x22- \frac{x^{2}}{2}

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        xe1x2+iπerf⁡(ix)x e^{\frac{1}{x^{2}}} + i \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\frac{i}{x} \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

      El resultado es: x2E⁡2(−1x2)2−x22+xe1x2−x+iπerf⁡(ix)\frac{x^{2} \operatorname{E}_{2}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}{2} - \frac{x^{2}}{2} + x e^{\frac{1}{x^{2}}} - x + i \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\frac{i}{x} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x2E⁡2(−1x2)2−x22+xe1x2−x+iπerf⁡(ix)+constant\frac{x^{2} \operatorname{E}_{2}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}{2} - \frac{x^{2}}{2} + x e^{\frac{1}{x^{2}}} - x + i \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\frac{i}{x} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2E⁡2(−1x2)2−x22+xe1x2−x+iπerf⁡(ix)+constant\frac{x^{2} \operatorname{E}_{2}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}{2} - \frac{x^{2}}{2} + x e^{\frac{1}{x^{2}}} - x + i \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\frac{i}{x} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                               
 |                                                                                
 |         / 1     \                      1     2       /   -1 \                  
 |         | --    |                      --   x *expint|2, ---|                  
 |         |  2    |               2       2            |     2|                  
 |         | x     |              x       x             \    x /       ____    /I\
 | (x + 1)*\E   - 1/ dx = C - x - -- + x*e   + ----------------- + I*\/ pi *erf|-|
 |                                2                    2                       \x/
/
∫(e1x2−1)(x+1) dx=C+x2E⁡2(−1x2)2−x22+xe1x2−x+iπerf⁡(ix)\int \left(e^{\frac{1}{x^{2}}} - 1\right) \left(x + 1\right)\, dx = C + \frac{x^{2} \operatorname{E}_{2}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}{2} - \frac{x^{2}}{2} + x e^{\frac{1}{x^{2}}} - x + i \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\frac{i}{x} \right)}
Simplificar
Gráfica
1.00001.01001.00101.00201.00301.00401.00501.00601.00701.00801.00903.433.45
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     expint(2, -1)       ____       
oo - ------------- - I*\/ pi *erf(I)
           2
−iπerf⁡(i)+∞−E⁡2(−1)2- i \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(i \right)} + \infty - \frac{\operatorname{E}_{2}\left(-1\right)}{2} 
=
= 
     expint(2, -1)       ____       
oo - ------------- - I*\/ pi *erf(I)
           2
−iπerf⁡(i)+∞−E⁡2(−1)2- i \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(i \right)} + \infty - \frac{\operatorname{E}_{2}\left(-1\right)}{2} 
oo - expint(2, -1)/2 - i*sqrt(pi)*erf(i)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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