Integral de y(c)sin(t-c) dc

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(c \right)} = c y$ y que $\operatorname{dv}{\left(c \right)} = \sin{\left(- c + t \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(c \right)} = y$.

   Para buscar $v{\left(c \right)}$:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \sin{\left(c - t \right)}\right)\, dc = - \int \sin{\left(c - t \right)}\, dc$

      1. que $u = c - t$.

         Luego que $du = dc$ y ponemos $du$:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \cos{\left(c - t \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\cos{\left(c - t \right)}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int y \cos{\left(c - t \right)}\, dc = y \int \cos{\left(c - t \right)}\, dc$

   1. que $u = c - t$.

      Luego que $du = dc$ y ponemos $du$:

      $\int \cos{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\sin{\left(c - t \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $y \sin{\left(c - t \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $y \left(c \cos{\left(c - t \right)} - \sin{\left(c - t \right)}\right)$

4. Añadimos la constante de integración:

   $y \left(c \cos{\left(c - t \right)} - \sin{\left(c - t \right)}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$y \left(c \cos{\left(c - t \right)} - \sin{\left(c - t \right)}\right)+ \mathrm{constant}$