Integral de (e^x)sin(2e^x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \sin{\left(2 u \right)}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 2 u$.

            Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}$

         Método #2

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u\, du = - \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{2}{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos{\left(2 e^{x} \right)}}{2}$

   Método #2

   1. que $u = 2 e^{x}$.

      Luego que $du = 2 e^{x} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos{\left(2 e^{x} \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\cos{\left(2 e^{x} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\cos{\left(2 e^{x} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$