Integral de (1-4*x)^5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 - 4 x$.

      Luego que $du = - 4 dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

      $\int \left(- \frac{u^{5}}{4}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{5}\, du = - \frac{\int u^{5}\, du}{4}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{24}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(1 - 4 x\right)^{6}}{24}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - 4 x\right)^{5} = - 1024 x^{5} + 1280 x^{4} - 640 x^{3} + 160 x^{2} - 20 x + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1024 x^{5}\right)\, dx = - 1024 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{512 x^{6}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1280 x^{4}\, dx = 1280 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $256 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 640 x^{3}\right)\, dx = - 640 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 160 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 160 x^{2}\, dx = 160 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{160 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 20 x\right)\, dx = - 20 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 10 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $- \frac{512 x^{6}}{3} + 256 x^{5} - 160 x^{4} + \frac{160 x^{3}}{3} - 10 x^{2} + x$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(4 x - 1\right)^{6}}{24}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(4 x - 1\right)^{6}}{24}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(4 x - 1\right)^{6}}{24}+ \mathrm{constant}$