Sr Examen

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Integral de x/(4x^2+4x+5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                  
  /                  
 |                   
 |        x          
 |  -------------- dx
 |     2             
 |  4*x  + 4*x + 5   
 |                   
/                    
0                    
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 5}\, dx$$
Integral(x/(4*x^2 + 4*x + 5), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /                 
 |                  
 |       x          
 | -------------- dx
 |    2             
 | 4*x  + 4*x + 5   
 |                  
/                   
Reescribimos la función subintegral
                 /  4*2*x + 4   \                  
                 |--------------|        /-1 \     
                 |   2          |        |---|     
      x          \4*x  + 4*x + 5/        \2*4/     
-------------- = ---------------- + ---------------
   2                    8                     2    
4*x  + 4*x + 5                      (-x - 1/2)  + 1
o
  /                   
 |                    
 |       x            
 | -------------- dx  
 |    2              =
 | 4*x  + 4*x + 5     
 |                    
/                     
  
    /                       /                 
   |                       |                  
   |        1              |   4*2*x + 4      
   | --------------- dx    | -------------- dx
   |           2           |    2             
   | (-x - 1/2)  + 1       | 4*x  + 4*x + 5   
   |                       |                  
  /                       /                   
- --------------------- + --------------------
            8                      8          
En integral
  /                 
 |                  
 |   4*2*x + 4      
 | -------------- dx
 |    2             
 | 4*x  + 4*x + 5   
 |                  
/                   
--------------------
         8          
hacemos el cambio
             2
u = 4*x + 4*x 
entonces
integral =
  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 5 + u                
 |                      
/             log(5 + u)
----------- = ----------
     8            8     
hacemos cambio inverso
  /                                       
 |                                        
 |   4*2*x + 4                            
 | -------------- dx                      
 |    2                                   
 | 4*x  + 4*x + 5                         
 |                        /             2\
/                      log\5 + 4*x + 4*x /
-------------------- = -------------------
         8                      8         
En integral
   /                   
  |                    
  |        1           
- | --------------- dx 
  |           2        
  | (-x - 1/2)  + 1    
  |                    
 /                     
-----------------------
           8           
hacemos el cambio
v = -1/2 - x
entonces
integral =
   /                      
  |                       
  |   1                   
- | ------ dv             
  |      2                
  | 1 + v                 
  |                       
 /               -atan(v) 
-------------- = ---------
      8              8    
hacemos cambio inverso
   /                                     
  |                                      
  |        1                             
- | --------------- dx                   
  |           2                          
  | (-x - 1/2)  + 1                      
  |                                      
 /                        -atan(1/2 + x) 
----------------------- = ---------------
           8                     8       
La solución:
                       /5        2\
                    log|- + x + x |
    atan(1/2 + x)      \4         /
C - ------------- + ---------------
          8                8       
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                           
 |                                            /             2\
 |       x                 atan(1/2 + x)   log\5 + 4*x + 4*x /
 | -------------- dx = C - ------------- + -------------------
 |    2                          8                  8         
 | 4*x  + 4*x + 5                                             
 |                                                            
/                                                             
$$\int \frac{x}{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 5}\, dx = C + \frac{\log{\left(4 x^{2} + 4 x + 5 \right)}}{8} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x + \frac{1}{2} \right)}}{8}$$
Gráfica
Respuesta [src]
  atan(3/2)   log(5/4)   atan(1/2)   log(13/4)
- --------- - -------- + --------- + ---------
      8          8           8           8    
$$- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{2} \right)}}{8} - \frac{\log{\left(\frac{5}{4} \right)}}{8} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{8} + \frac{\log{\left(\frac{13}{4} \right)}}{8}$$
=
=
  atan(3/2)   log(5/4)   atan(1/2)   log(13/4)
- --------- - -------- + --------- + ---------
      8          8           8           8    
$$- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{2} \right)}}{8} - \frac{\log{\left(\frac{5}{4} \right)}}{8} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{8} + \frac{\log{\left(\frac{13}{4} \right)}}{8}$$
-atan(3/2)/8 - log(5/4)/8 + atan(1/2)/8 + log(13/4)/8
Respuesta numérica [src]
0.0545456663476142
0.0545456663476142

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.