Integral de e^(-2x)(1-3x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{- 2 x} \left(1 - 3 x\right) = - \left(3 x - 1\right) e^{- 2 x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \left(3 x - 1\right) e^{- 2 x}\right)\, dx = - \int \left(3 x - 1\right) e^{- 2 x}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = 3 x - 1$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = - 2 x$.

            Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{3 e^{- 2 x}}{2}\right)\, dx = - \frac{3 \int e^{- 2 x}\, dx}{2}$

         1. que $u = - 2 x$.

            Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 e^{- 2 x}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(3 x - 1\right) e^{- 2 x}}{2} + \frac{3 e^{- 2 x}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{- 2 x} \left(1 - 3 x\right) = - 3 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x e^{- 2 x}\right)\, dx = - 3 \int x e^{- 2 x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = - 2 x$.

               Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{e^{- 2 x}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 2 x}\, dx}{2}$

            1. que $u = - 2 x$.

               Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{- 2 x}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x e^{- 2 x}}{2} + \frac{3 e^{- 2 x}}{4}$

      1. que $u = - 2 x$.

         Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

      El resultado es: $\frac{3 x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(6 x + 1\right) e^{- 2 x}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(6 x + 1\right) e^{- 2 x}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(6 x + 1\right) e^{- 2 x}}{4}+ \mathrm{constant}$