Sr Examen
Integral de y/(y^2+1+y) dy
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | y | ---------- dy | 2 | y + 1 + y | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{y}{y + \left(y^{2} + 1\right)}\, dy$$
Integral(y/(y^2 + 1 + y), (y, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | y | ---------- dy | 2 | y + 1 + y | /
Reescribimos la función subintegral
/ 2*y + 1 \
|----------| / -1 \
| 2 | |-----|
y \y + y + 1/ \2*3/4/
---------- = ------------ + -------------------------
2 2 2
y + 1 + y / ___ ___\
|-2*\/ 3 \/ 3 |
|--------*y - -----| + 1
\ 3 3 / o
/ | | y | ---------- dy | 2 = | y + 1 + y | /
/
|
| 1
/ 2* | ------------------------- dy
| | 2
| 2*y + 1 | / ___ ___\
| ---------- dy | |-2*\/ 3 \/ 3 |
| 2 | |--------*y - -----| + 1
| y + y + 1 | \ 3 3 /
| |
/ /
---------------- - ---------------------------------
2 3 En integral
/
|
| 2*y + 1
| ---------- dy
| 2
| y + y + 1
|
/
----------------
2 hacemos el cambio
2 u = y + y
entonces
integral =
/
|
| 1
| ----- du
| 1 + u
|
/ log(1 + u)
----------- = ----------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*y + 1
| ---------- dy
| 2
| y + y + 1
| / 2\
/ log\1 + y + y /
---------------- = ---------------
2 2 En integral
/
|
| 1
-2* | ------------------------- dy
| 2
| / ___ ___\
| |-2*\/ 3 \/ 3 |
| |--------*y - -----| + 1
| \ 3 3 /
|
/
----------------------------------
3 hacemos el cambio
___ ___
\/ 3 2*y*\/ 3
v = - ----- - ---------
3 3 entonces
integral =
/
|
| 1
-2* | ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ -2*atan(v)
--------------- = ----------
3 3 hacemos cambio inverso
/
|
| 1
-2* | ------------------------- dy
| 2
| / ___ ___\
| |-2*\/ 3 \/ 3 |
| |--------*y - -----| + 1 / ___ ___\
| \ 3 3 / ___ |\/ 3 2*y*\/ 3 |
| -\/ 3 *atan|----- + ---------|
/ \ 3 3 /
---------------------------------- = -------------------------------
3 3 La solución:
/ ___ ___\
___ |\/ 3 2*y*\/ 3 |
/ 2\ \/ 3 *atan|----- + ---------|
log\1 + y + y / \ 3 3 /
C + --------------- - -----------------------------
2 3
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ ___ \ / ___ |2*\/ 3 *(1/2 + y)| | / 2\ \/ 3 *atan|-----------------| | y log\1 + y + y / \ 3 / | ---------- dy = C + --------------- - ----------------------------- | 2 2 3 | y + 1 + y | /
$$\int \frac{y}{y + \left(y^{2} + 1\right)}\, dy = C + \frac{\log{\left(y^{2} + y + 1 \right)}}{2} - \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \left(y + \frac{1}{2}\right)}{3} \right)}}{3}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
___ log(3) pi*\/ 3 ------ - -------- 2 18
$$- \frac{\sqrt{3} \pi}{18} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}$$
=
=
___ log(3) pi*\/ 3 ------ - -------- 2 18
$$- \frac{\sqrt{3} \pi}{18} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}$$
log(3)/2 - pi*sqrt(3)/18
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.