Integral de (x+y+2)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(x + y\right) + 2$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{2}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\left(x + y\right) + 2\right)^{3}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\left(x + y\right) + 2\right)^{2} = x^{2} + x \left(2 y + 4\right) + y^{2} + 4 y + 4$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int x \left(2 y + 4\right)\, dx = \left(2 y + 4\right) \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2} \left(2 y + 4\right)}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int y^{2}\, dx = x y^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4 y\, dx = 4 x y$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4\, dx = 4 x$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2} \left(2 y + 4\right)}{2} + x y^{2} + 4 x y + 4 x$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\left(x + y\right) + 2\right)^{2} = x^{2} + 2 x y + 4 x + y^{2} + 4 y + 4$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x y\, dx = 2 y \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} y$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int y^{2}\, dx = x y^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4 y\, dx = 4 x y$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4\, dx = 4 x$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + x^{2} y + 2 x^{2} + x y^{2} + 4 x y + 4 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x + y + 2\right)^{3}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x + y + 2\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + y + 2\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$