Integral de x(x^2-1)^5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2} - 1$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{5}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{5}\, du = \frac{\int u^{5}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{6}}{12}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{6}}{12}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(x^{2} - 1\right)^{5} = x^{11} - 5 x^{9} + 10 x^{7} - 10 x^{5} + 5 x^{3} - x$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 5 x^{9}\right)\, dx = - 5 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{10}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 10 x^{7}\, dx = 10 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{8}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 10 x^{5}\right)\, dx = - 10 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{6}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x^{3}\, dx = 5 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2}$

      El resultado es: $\frac{x^{12}}{12} - \frac{x^{10}}{2} + \frac{5 x^{8}}{4} - \frac{5 x^{6}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{6}}{12}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{6}}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{6}}{12}+ \mathrm{constant}$