Integral de (2x+5)/(x-2)*(x-3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 5}{x - 2} \left(x - 3\right) = 2 x + 3 - \frac{9}{x - 2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 3\, dx = 3 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{9}{x - 2}\right)\, dx = - 9 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

         1. que $u = x - 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 9 \log{\left(x - 2 \right)}$

      El resultado es: $x^{2} + 3 x - 9 \log{\left(x - 2 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 5}{x - 2} \left(x - 3\right) = \frac{2 x^{2} - x - 15}{x - 2}$

   2. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2 u^{2} + u - 15}{u + 2}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 u^{2} + u - 15}{u + 2} = 2 u - 3 - \frac{9}{u + 2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-3\right)\, du = - 3 u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{9}{u + 2}\right)\, du = - 9 \int \frac{1}{u + 2}\, du$

            1. que $u = u + 2$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 9 \log{\left(u + 2 \right)}$

         El resultado es: $u^{2} - 3 u - 9 \log{\left(u + 2 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x^{2} + 3 x - 9 \log{\left(2 - x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 5}{x - 2} \left(x - 3\right) = \frac{2 x^{2}}{x - 2} - \frac{x}{x - 2} - \frac{15}{x - 2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x^{2}}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x - 2}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x^{2}}{x - 2} = x + 2 + \frac{4}{x - 2}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 2\, dx = 2 x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{4}{x - 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

               1. que $u = x - 2$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(x - 2 \right)}$

            El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + 2 x + 4 \log{\left(x - 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} + 4 x + 8 \log{\left(x - 2 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x}{x - 2}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x - 2}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{x - 2} = 1 + \frac{2}{x - 2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

               1. que $u = x - 2$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x - 2 \right)}$

            El resultado es: $x + 2 \log{\left(x - 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x - 2 \log{\left(x - 2 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{15}{x - 2}\right)\, dx = - 15 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

         1. que $u = x - 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 15 \log{\left(x - 2 \right)}$

      El resultado es: $x^{2} + 3 x - 15 \log{\left(x - 2 \right)} + 6 \log{\left(x - 2 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x^{2} + 3 x - 9 \log{\left(x - 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{2} + 3 x - 9 \log{\left(x - 2 \right)}+ \mathrm{constant}$