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Resolución de integrales/ sen^2/ sen2x/ sen2x/(4+4sen^2x)

Integral de sen2x/(4+4sen^2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |     sin(2*x)     
 |  ------------- dx
 |           2      
 |  4 + 4*sin (x)   
 |                  
/                   
0
∫01sin⁡(2x)4sin⁡2(x)+4 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4}\, dx 
Integral(sin(2*x)/(4 + 4*sin(x)^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(x)cos⁡(x)4sin⁡2(x)+4 dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x)4sin⁡2(x)+4 dx\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4}\, dx

      1. que u=4sin⁡2(x)+4u = 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4.

        Luego que du=8sin⁡(x)cos⁡(x)dxdu = 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

        ∫18u du\int \frac{1}{8 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=∫1u du8\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{8}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)8\frac{\log{\left(u \right)}}{8}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(4sin⁡2(x)+4)8\frac{\log{\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{8}

      Por lo tanto, el resultado es: log⁡(4sin⁡2(x)+4)4\frac{\log{\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{4}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(2x)4sin⁡2(x)+4=2sin⁡(x)cos⁡(x)4sin⁡2(x)+4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4} = \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(x)cos⁡(x)4sin⁡2(x)+4 dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x)4sin⁡2(x)+4 dx\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4}\, dx

      1. que u=4sin⁡2(x)+4u = 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4.

        Luego que du=8sin⁡(x)cos⁡(x)dxdu = 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

        ∫18u du\int \frac{1}{8 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=∫1u du8\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{8}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)8\frac{\log{\left(u \right)}}{8}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(4sin⁡2(x)+4)8\frac{\log{\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{8}

      Por lo tanto, el resultado es: log⁡(4sin⁡2(x)+4)4\frac{\log{\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(4sin⁡2(x)+4)4+constant\frac{\log{\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(4sin⁡2(x)+4)4+constant\frac{\log{\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                         
 |                           /         2   \
 |    sin(2*x)            log\4 + 4*sin (x)/
 | ------------- dx = C + ------------------
 |          2                     4         
 | 4 + 4*sin (x)                            
 |                                          
/
∫sin⁡(2x)4sin⁡2(x)+4 dx=C+log⁡(4sin⁡2(x)+4)4\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4}\, dx = C + \frac{\log{\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.00.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
              /         2   \
  log(4)   log\4 + 4*sin (1)/
- ------ + ------------------
    4              4
−log⁡(4)4+log⁡(4sin⁡2(1)+4)4- \frac{\log{\left(4 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(4 \sin^{2}{\left(1 \right)} + 4 \right)}}{4} 
=
= 
              /         2   \
  log(4)   log\4 + 4*sin (1)/
- ------ + ------------------
    4              4
−log⁡(4)4+log⁡(4sin⁡2(1)+4)4- \frac{\log{\left(4 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(4 \sin^{2}{\left(1 \right)} + 4 \right)}}{4} 
-log(4)/4 + log(4 + 4*sin(1)^2)/4
Respuesta numérica [src] 
0.13384151984506
0.13384151984506

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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