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Integral de sen2x/(4+4sen^2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                 
  /                 
 |                  
 |     sin(2*x)     
 |  ------------- dx
 |           2      
 |  4 + 4*sin (x)   
 |                  
/                   
0                   
01sin(2x)4sin2(x)+4dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4}\, dx
Integral(sin(2*x)/(4 + 4*sin(x)^2), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      2sin(x)cos(x)4sin2(x)+4dx=2sin(x)cos(x)4sin2(x)+4dx\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4}\, dx

      1. que u=4sin2(x)+4u = 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4.

        Luego que du=8sin(x)cos(x)dxdu = 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

        18udu\int \frac{1}{8 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1udu=1udu8\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{8}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log(u)8\frac{\log{\left(u \right)}}{8}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log(4sin2(x)+4)8\frac{\log{\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{8}

      Por lo tanto, el resultado es: log(4sin2(x)+4)4\frac{\log{\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{4}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin(2x)4sin2(x)+4=2sin(x)cos(x)4sin2(x)+4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4} = \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      2sin(x)cos(x)4sin2(x)+4dx=2sin(x)cos(x)4sin2(x)+4dx\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4}\, dx

      1. que u=4sin2(x)+4u = 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4.

        Luego que du=8sin(x)cos(x)dxdu = 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

        18udu\int \frac{1}{8 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1udu=1udu8\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{8}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log(u)8\frac{\log{\left(u \right)}}{8}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log(4sin2(x)+4)8\frac{\log{\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{8}

      Por lo tanto, el resultado es: log(4sin2(x)+4)4\frac{\log{\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log(4sin2(x)+4)4+constant\frac{\log{\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

log(4sin2(x)+4)4+constant\frac{\log{\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                         
 |                           /         2   \
 |    sin(2*x)            log\4 + 4*sin (x)/
 | ------------- dx = C + ------------------
 |          2                     4         
 | 4 + 4*sin (x)                            
 |                                          
/                                           
sin(2x)4sin2(x)+4dx=C+log(4sin2(x)+4)4\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4}\, dx = C + \frac{\log{\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{4}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.00.5
Respuesta [src]
              /         2   \
  log(4)   log\4 + 4*sin (1)/
- ------ + ------------------
    4              4         
log(4)4+log(4sin2(1)+4)4- \frac{\log{\left(4 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(4 \sin^{2}{\left(1 \right)} + 4 \right)}}{4}
=
=
              /         2   \
  log(4)   log\4 + 4*sin (1)/
- ------ + ------------------
    4              4         
log(4)4+log(4sin2(1)+4)4- \frac{\log{\left(4 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(4 \sin^{2}{\left(1 \right)} + 4 \right)}}{4}
-log(4)/4 + log(4 + 4*sin(1)^2)/4
Respuesta numérica [src]
0.13384151984506
0.13384151984506

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.