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Resolución de integrales/ sin2x/ 1+y^2/ 1+y^2sin2x

Integral de 1+y^2sin2x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
  /                     
 |                      
 |  /     2         \   
 |  \1 + y *sin(2*x)/ dx
 |                      
/                       
0
∫01(y2sin⁡(2x)+1) dx\int\limits_{0}^{1} \left(y^{2} \sin{\left(2 x \right)} + 1\right)\, dx 
Integral(1 + y^2*sin(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫y2sin⁡(2x) dx=y2∫sin⁡(2x) dx\int y^{2} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = y^{2} \int \sin{\left(2 x \right)}\, dx

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        Método #2

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

            Método #2

            1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

              Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

              ∫u du\int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡2(x)2\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −y2cos⁡(2x)2- \frac{y^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2}

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    El resultado es: x−y2cos⁡(2x)2x - \frac{y^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x−y2cos⁡(2x)2+constantx - \frac{y^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x−y2cos⁡(2x)2+constantx - \frac{y^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                          
 |                                 2         
 | /     2         \              y *cos(2*x)
 | \1 + y *sin(2*x)/ dx = C + x - -----------
 |                                     2     
/
∫(y2sin⁡(2x)+1) dx=C+x−y2cos⁡(2x)2\int \left(y^{2} \sin{\left(2 x \right)} + 1\right)\, dx = C + x - \frac{y^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2}
Simplificar
Respuesta [src] 
     2    2       
    y    y *cos(2)
1 + -- - ---------
    2        2
−y2cos⁡(2)2+y22+1- \frac{y^{2} \cos{\left(2 \right)}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + 1 
=
= 
     2    2       
    y    y *cos(2)
1 + -- - ---------
    2        2
−y2cos⁡(2)2+y22+1- \frac{y^{2} \cos{\left(2 \right)}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + 1 
1 + y^2/2 - y^2*cos(2)/2

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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