Integral de (t/x)*sin(p*(t-x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du t$:

      $\int \left(- \frac{t \sin{\left(p t - \frac{p}{u} \right)}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(p t - \frac{p}{u} \right)}}{u}\, du = - t \int \frac{\sin{\left(p t - \frac{p}{u} \right)}}{u}\, du$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- \frac{\sin{\left(p t - p u \right)}}{u}\right)\, du$

            SiRule(a=p, b=-p*t, context=sin(_u*p - p*t)/_u, symbol=_u)

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \sin{\left(p t \right)} \operatorname{Ci}{\left(\frac{p}{u} \right)} + \cos{\left(p t \right)} \operatorname{Si}{\left(\frac{p}{u} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- t \left(- \sin{\left(p t \right)} \operatorname{Ci}{\left(\frac{p}{u} \right)} + \cos{\left(p t \right)} \operatorname{Si}{\left(\frac{p}{u} \right)}\right)$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- t \left(- \sin{\left(p t \right)} \operatorname{Ci}{\left(p x \right)} + \cos{\left(p t \right)} \operatorname{Si}{\left(p x \right)}\right)$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{t}{x} \sin{\left(p \left(t - x\right) \right)} = \frac{t \sin{\left(p t - p x \right)}}{x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{t \sin{\left(p t - p x \right)}}{x}\, dx = t \int \frac{\sin{\left(p t - p x \right)}}{x}\, dx$

      SiRule(a=-p, b=p*t, context=sin(p*t - p*x)/x, symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $t \left(\sin{\left(p t \right)} \operatorname{Ci}{\left(- p x \right)} - \cos{\left(p t \right)} \operatorname{Si}{\left(p x \right)}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $t \left(\sin{\left(p t \right)} \operatorname{Ci}{\left(p x \right)} - \cos{\left(p t \right)} \operatorname{Si}{\left(p x \right)}\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $t \left(\sin{\left(p t \right)} \operatorname{Ci}{\left(p x \right)} - \cos{\left(p t \right)} \operatorname{Si}{\left(p x \right)}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$t \left(\sin{\left(p t \right)} \operatorname{Ci}{\left(p x \right)} - \cos{\left(p t \right)} \operatorname{Si}{\left(p x \right)}\right)+ \mathrm{constant}$