Integral de 4/(x^4-1) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{4}{x^{4} - 1}\, dx = 4 \int \frac{1}{x^{4} - 1}\, dx$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{x^{4} - 1} = - \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

         PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 1), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{4}$

         1. que $u = x + 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{4 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{4}$

         1. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4}$

      El resultado es: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$