Integral de (sqrt2+sqrtx)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u^{3} + 4 \sqrt{2} u^{2} + 4 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{3}\, du = 2 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 \sqrt{2} u^{2}\, du = 4 \sqrt{2} \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sqrt{2} u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 u\, du = 4 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{4}}{2} + \frac{4 \sqrt{2} u^{3}}{3} + 2 u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sqrt{x} + \sqrt{2}\right)^{2} = 2 \sqrt{2} \sqrt{x} + x + 2$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \sqrt{2} \sqrt{x}\, dx = 2 \sqrt{2} \int \sqrt{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 2\, dx = 2 x$

      El resultado es: $\frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x+ \mathrm{constant}$