Integral de (t^2)*(1+exp(t))-(1,5^2) dx

1. Integramos término a término:

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $t^{2} \left(e^{t} + 1\right) = t^{2} e^{t} + t^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(t \right)} = t^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = 2 t$.

         Para buscar $v{\left(t \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{t}\, dt = e^{t}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(t \right)} = 2 t$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = 2$.

         Para buscar $v{\left(t \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{t}\, dt = e^{t}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 e^{t}\, dt = 2 \int e^{t}\, dt$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{t}\, dt = e^{t}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{t}$

      1. Integral $t^{n}$ es $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int t^{2}\, dt = \frac{t^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{t^{3}}{3} + t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \left(- \left(\frac{3}{2}\right)^{2}\right)\, dt = - \frac{9 t}{4}$

   El resultado es: $\frac{t^{3}}{3} + t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} - \frac{9 t}{4} + 2 e^{t}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{t^{3}}{3} + t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} - \frac{9 t}{4} + 2 e^{t}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{t^{3}}{3} + t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} - \frac{9 t}{4} + 2 e^{t}+ \mathrm{constant}$