Sr Examen
Integral de (x-2)/((x^2)-2x+3) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | x - 2 | ------------ dx | 2 | x - 2*x + 3 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x - 2}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 3}\, dx$$
Integral((x - 2)/(x^2 - 2*x + 3), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | x - 2 | ------------ dx | 2 | x - 2*x + 3 | /
Reescribimos la función subintegral
/ 2*x - 2 \
|------------| /-1 \
| 2 | |---|
x - 2 \x - 2*x + 3/ \ 2 /
------------ = -------------- + ------------------------
2 2 2
x - 2*x + 3 / ___ ___\
|-\/ 2 \/ 2 |
|-------*x + -----| + 1
\ 2 2 / o
/ | | x - 2 | ------------ dx | 2 = | x - 2*x + 3 | /
/
|
| 1
/ | ------------------------ dx
| | 2
| 2*x - 2 | / ___ ___\
| ------------ dx | |-\/ 2 \/ 2 |
| 2 | |-------*x + -----| + 1
| x - 2*x + 3 | \ 2 2 /
| |
/ /
------------------ - ------------------------------
2 2 En integral
/
|
| 2*x - 2
| ------------ dx
| 2
| x - 2*x + 3
|
/
------------------
2 hacemos el cambio
2 u = x - 2*x
entonces
integral =
/
|
| 1
| ----- du
| 3 + u
|
/ log(3 + u)
----------- = ----------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*x - 2
| ------------ dx
| 2
| x - 2*x + 3
| / 2 \
/ log\3 + x - 2*x/
------------------ = -----------------
2 2 En integral
/
|
| 1
- | ------------------------ dx
| 2
| / ___ ___\
| |-\/ 2 \/ 2 |
| |-------*x + -----| + 1
| \ 2 2 /
|
/
--------------------------------
2 hacemos el cambio
___ ___
\/ 2 x*\/ 2
v = ----- - -------
2 2 entonces
integral =
/
|
| 1
- | ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ -atan(v)
-------------- = ---------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 1
- | ------------------------ dx
| 2
| / ___ ___\
| |-\/ 2 \/ 2 |
| |-------*x + -----| + 1 / ___ ___\
| \ 2 2 / ___ | \/ 2 x*\/ 2 |
| -\/ 2 *atan|- ----- + -------|
/ \ 2 2 /
-------------------------------- = -------------------------------
2 2 La solución:
/ ___ ___\
___ | \/ 2 x*\/ 2 |
/ 2 \ \/ 2 *atan|- ----- + -------|
log\3 + x - 2*x/ \ 2 2 /
C + ----------------- - -----------------------------
2 2
Gráfica
Respuesta
[src]
/ ___\
___ |\/ 2 |
\/ 2 *atan|-----|
log(2) log(3) \ 2 /
------ - ------ - -----------------
2 2 2
$$- \frac{\log{\left(3 \right)}}{2} - \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{2}$$
=
=
/ ___\
___ |\/ 2 |
\/ 2 *atan|-----|
log(2) log(3) \ 2 /
------ - ------ - -----------------
2 2 2
$$- \frac{\log{\left(3 \right)}}{2} - \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{2}$$
log(2)/2 - log(3)/2 - sqrt(2)*atan(sqrt(2)/2)/2
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.