Integral de sec²xdx/tanx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} = \frac{\tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}}{\sec^{2}{\left(x \right)} - 1}$

   2. que $u = \sec^{2}{\left(x \right)} - 1$.

      Luego que $du = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{2 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$