Integral de x/(1-x^2)^(3/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = - \frac{x}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} - \sqrt{1 - x^{2}}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} - \sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} - \sqrt{1 - x^{2}}}\, dx$

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{2 u \sqrt{1 - u} - 2 \sqrt{1 - u}}\, du$

         1. que $u = \sqrt{1 - u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{2 \sqrt{1 - u}}$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{\sqrt{1 - u}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{- x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{1 - x^{2}}}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{1}{2 u \sqrt{1 - u} - 2 \sqrt{1 - u}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 u \sqrt{1 - u} - 2 \sqrt{1 - u}}\, du = - \int \frac{1}{2 u \sqrt{1 - u} - 2 \sqrt{1 - u}}\, du$

         1. que $u = \sqrt{1 - u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{2 \sqrt{1 - u}}$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{\sqrt{1 - u}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{\sqrt{1 - u}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}+ \mathrm{constant}$