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Resolución de integrales/ 2-x^2/ x√(y^2-x^2)

Integral de x√(y^2-x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  y                  
  /                  
 |                   
 |       _________   
 |      /  2    2    
 |  x*\/  y  - x   dx
 |                   
/                    
0
∫0yx−x2+y2 dx\int\limits_{0}^{y} x \sqrt{- x^{2} + y^{2}}\, dx 
Integral(x*sqrt(y^2 - x^2), (x, 0, y))
Solución detallada

  1. que u=−x2+y2u = - x^{2} + y^{2}.

    Luego que du=−2xdxdu = - 2 x dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

    ∫(−u2) du\int \left(- \frac{\sqrt{u}}{2}\right)\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫u du=−∫u du2\int \sqrt{u}\, du = - \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}

      1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫u du=2u323\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −u323- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}

    Si ahora sustituir uu más en:

    −(−x2+y2)323- \frac{\left(- x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −(−x2+y2)323+constant- \frac{\left(- x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−(−x2+y2)323+constant- \frac{\left(- x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                    
 |                                  3/2
 |      _________          / 2    2\   
 |     /  2    2           \y  - x /   
 | x*\/  y  - x   dx = C - ------------
 |                              3      
/
∫x−x2+y2 dx=C−(−x2+y2)323\int x \sqrt{- x^{2} + y^{2}}\, dx = C - \frac{\left(- x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}
Simplificar
Respuesta [src] 
      ____
 2   /  2 
y *\/  y  
----------
    3
y2y23\frac{y^{2} \sqrt{y^{2}}}{3} 
=
= 
      ____
 2   /  2 
y *\/  y  
----------
    3
y2y23\frac{y^{2} \sqrt{y^{2}}}{3} 
y^2*sqrt(y^2)/3

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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