Sr Examen

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Resolución de integrales/ (6x+7)/ sin(7x)/ (sin(7x))*(6x+7)

Integral de (sin(7x))*(6x+7) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
 |                       
 |  sin(7*x)*(6*x + 7) dx
 |                       
/                        
0
∫01(6x+7)sin⁡(7x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(6 x + 7\right) \sin{\left(7 x \right)}\, dx 
Integral(sin(7*x)*(6*x + 7), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (6x+7)sin⁡(7x)=6xsin⁡(7x)+7sin⁡(7x)\left(6 x + 7\right) \sin{\left(7 x \right)} = 6 x \sin{\left(7 x \right)} + 7 \sin{\left(7 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6xsin⁡(7x) dx=6∫xsin⁡(7x) dx\int 6 x \sin{\left(7 x \right)}\, dx = 6 \int x \sin{\left(7 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(7x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(7 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=7xu = 7 x.

            Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

            ∫sin⁡(u)7 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{7}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du7\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{7}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)7- \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(7x)7- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(7x)7) dx=−∫cos⁡(7x) dx7\int \left(- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(7 x \right)}\, dx}{7}

          1. que u=7xu = 7 x.

            Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

            ∫cos⁡(u)7 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du7\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)7\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(7x)7\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(7x)49- \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{49}

        Por lo tanto, el resultado es: −6xcos⁡(7x)7+6sin⁡(7x)49- \frac{6 x \cos{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{6 \sin{\left(7 x \right)}}{49}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7sin⁡(7x) dx=7∫sin⁡(7x) dx\int 7 \sin{\left(7 x \right)}\, dx = 7 \int \sin{\left(7 x \right)}\, dx

        1. que u=7xu = 7 x.

          Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

          ∫sin⁡(u)7 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{7}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du7\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{7}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)7- \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(7x)7- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(7x)- \cos{\left(7 x \right)}

      El resultado es: −6xcos⁡(7x)7+6sin⁡(7x)49−cos⁡(7x)- \frac{6 x \cos{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{6 \sin{\left(7 x \right)}}{49} - \cos{\left(7 x \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=6x+7u{\left(x \right)} = 6 x + 7 y que dv⁡(x)=sin⁡(7x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(7 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=6\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=7xu = 7 x.

        Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

        ∫sin⁡(u)7 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{7}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du7\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{7}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)7- \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(7x)7- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−6cos⁡(7x)7) dx=−6∫cos⁡(7x) dx7\int \left(- \frac{6 \cos{\left(7 x \right)}}{7}\right)\, dx = - \frac{6 \int \cos{\left(7 x \right)}\, dx}{7}

      1. que u=7xu = 7 x.

        Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

        ∫cos⁡(u)7 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du7\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)7\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(7x)7\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}

      Por lo tanto, el resultado es: −6sin⁡(7x)49- \frac{6 \sin{\left(7 x \right)}}{49}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (6x+7)sin⁡(7x)=6xsin⁡(7x)+7sin⁡(7x)\left(6 x + 7\right) \sin{\left(7 x \right)} = 6 x \sin{\left(7 x \right)} + 7 \sin{\left(7 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6xsin⁡(7x) dx=6∫xsin⁡(7x) dx\int 6 x \sin{\left(7 x \right)}\, dx = 6 \int x \sin{\left(7 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(7x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(7 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=7xu = 7 x.

            Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

            ∫sin⁡(u)7 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{7}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du7\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{7}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)7- \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(7x)7- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(7x)7) dx=−∫cos⁡(7x) dx7\int \left(- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(7 x \right)}\, dx}{7}

          1. que u=7xu = 7 x.

            Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

            ∫cos⁡(u)7 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du7\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)7\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(7x)7\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(7x)49- \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{49}

        Por lo tanto, el resultado es: −6xcos⁡(7x)7+6sin⁡(7x)49- \frac{6 x \cos{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{6 \sin{\left(7 x \right)}}{49}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7sin⁡(7x) dx=7∫sin⁡(7x) dx\int 7 \sin{\left(7 x \right)}\, dx = 7 \int \sin{\left(7 x \right)}\, dx

        1. que u=7xu = 7 x.

          Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

          ∫sin⁡(u)7 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{7}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du7\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{7}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)7- \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(7x)7- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(7x)- \cos{\left(7 x \right)}

      El resultado es: −6xcos⁡(7x)7+6sin⁡(7x)49−cos⁡(7x)- \frac{6 x \cos{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{6 \sin{\left(7 x \right)}}{49} - \cos{\left(7 x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −6xcos⁡(7x)7+6sin⁡(7x)49−cos⁡(7x)+constant- \frac{6 x \cos{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{6 \sin{\left(7 x \right)}}{49} - \cos{\left(7 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−6xcos⁡(7x)7+6sin⁡(7x)49−cos⁡(7x)+constant- \frac{6 x \cos{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{6 \sin{\left(7 x \right)}}{49} - \cos{\left(7 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                
 |                                        6*sin(7*x)   6*x*cos(7*x)
 | sin(7*x)*(6*x + 7) dx = C - cos(7*x) + ---------- - ------------
 |                                            49            7      
/
∫(6x+7)sin⁡(7x) dx=C−6xcos⁡(7x)7+6sin⁡(7x)49−cos⁡(7x)\int \left(6 x + 7\right) \sin{\left(7 x \right)}\, dx = C - \frac{6 x \cos{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{6 \sin{\left(7 x \right)}}{49} - \cos{\left(7 x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
    13*cos(7)   6*sin(7)
1 - --------- + --------
        7          49
−13cos⁡(7)7+6sin⁡(7)49+1- \frac{13 \cos{\left(7 \right)}}{7} + \frac{6 \sin{\left(7 \right)}}{49} + 1 
=
= 
    13*cos(7)   6*sin(7)
1 - --------- + --------
        7          49
−13cos⁡(7)7+6sin⁡(7)49+1- \frac{13 \cos{\left(7 \right)}}{7} + \frac{6 \sin{\left(7 \right)}}{49} + 1 
1 - 13*cos(7)/7 + 6*sin(7)/49
Respuesta numérica [src] 
-0.319656848018939
-0.319656848018939

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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