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Resolución de integrales/ x^2-0/ -0.5x/ e^x+4/ 0.5x^2/ π(-0.5x^2-0.25e^x+4)^2

Integral de π(-0.5x^2-0.25e^x+4)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  51                        
  --                        
  25                        
   /                        
  |                         
  |                     2   
  |      /   2    x    \    
  |      |  x    E     |    
  |   pi*|- -- - -- + 4|  dx
  |      \  2    4     /    
  |                         
 /                          
-141                        
-----                       
  50
∫−141505125π((−ex4−x22)+4)2 dx\int\limits_{- \frac{141}{50}}^{\frac{51}{25}} \pi \left(\left(- \frac{e^{x}}{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) + 4\right)^{2}\, dx 
Integral(pi*(-x^2/2 - exp(x)/4 + 4)^2, (x, -141/50, 51/25))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫π((−ex4−x22)+4)2 dx=π∫((−ex4−x22)+4)2 dx\int \pi \left(\left(- \frac{e^{x}}{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) + 4\right)^{2}\, dx = \pi \int \left(\left(- \frac{e^{x}}{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) + 4\right)^{2}\, dx

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        ((−ex4−x22)+4)2=x44+x2ex4−4x2+e2x16−2ex+16\left(\left(- \frac{e^{x}}{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) + 4\right)^{2} = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2} e^{x}}{4} - 4 x^{2} + \frac{e^{2 x}}{16} - 2 e^{x} + 16

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫x44 dx=∫x4 dx4\int \frac{x^{4}}{4}\, dx = \frac{\int x^{4}\, dx}{4}

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x4 dx=x55\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: x520\frac{x^{5}}{20}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫x2ex4 dx=∫x2ex dx4\int \frac{x^{2} e^{x}}{4}\, dx = \frac{\int x^{2} e^{x}\, dx}{4}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

            Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=2xu{\left(x \right)} = 2 x y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

            Entonces du⁡(x)=2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2ex dx=2∫ex dx\int 2 e^{x}\, dx = 2 \int e^{x}\, dx

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

            Por lo tanto, el resultado es: 2ex2 e^{x}

          Por lo tanto, el resultado es: x2ex4−xex2+ex2\frac{x^{2} e^{x}}{4} - \frac{x e^{x}}{2} + \frac{e^{x}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4x2) dx=−4∫x2 dx\int \left(- 4 x^{2}\right)\, dx = - 4 \int x^{2}\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −4x33- \frac{4 x^{3}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2x16 dx=∫e2x dx16\int \frac{e^{2 x}}{16}\, dx = \frac{\int e^{2 x}\, dx}{16}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2x32\frac{e^{2 x}}{32}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2ex) dx=−2∫ex dx\int \left(- 2 e^{x}\right)\, dx = - 2 \int e^{x}\, dx

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

          Por lo tanto, el resultado es: −2ex- 2 e^{x}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫16 dx=16x\int 16\, dx = 16 x

        El resultado es: x520−4x33+x2ex4−xex2+16x+e2x32−3ex2\frac{x^{5}}{20} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{x^{2} e^{x}}{4} - \frac{x e^{x}}{2} + 16 x + \frac{e^{2 x}}{32} - \frac{3 e^{x}}{2}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        ((−ex4−x22)+4)2=x44+x2ex4−4x2+e2x16−2ex+16\left(\left(- \frac{e^{x}}{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) + 4\right)^{2} = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2} e^{x}}{4} - 4 x^{2} + \frac{e^{2 x}}{16} - 2 e^{x} + 16

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫x44 dx=∫x4 dx4\int \frac{x^{4}}{4}\, dx = \frac{\int x^{4}\, dx}{4}

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x4 dx=x55\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: x520\frac{x^{5}}{20}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫x2ex4 dx=∫x2ex dx4\int \frac{x^{2} e^{x}}{4}\, dx = \frac{\int x^{2} e^{x}\, dx}{4}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

            Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=2xu{\left(x \right)} = 2 x y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

            Entonces du⁡(x)=2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2ex dx=2∫ex dx\int 2 e^{x}\, dx = 2 \int e^{x}\, dx

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

            Por lo tanto, el resultado es: 2ex2 e^{x}

          Por lo tanto, el resultado es: x2ex4−xex2+ex2\frac{x^{2} e^{x}}{4} - \frac{x e^{x}}{2} + \frac{e^{x}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4x2) dx=−4∫x2 dx\int \left(- 4 x^{2}\right)\, dx = - 4 \int x^{2}\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −4x33- \frac{4 x^{3}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2x16 dx=∫e2x dx16\int \frac{e^{2 x}}{16}\, dx = \frac{\int e^{2 x}\, dx}{16}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2x32\frac{e^{2 x}}{32}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2ex) dx=−2∫ex dx\int \left(- 2 e^{x}\right)\, dx = - 2 \int e^{x}\, dx

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

          Por lo tanto, el resultado es: −2ex- 2 e^{x}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫16 dx=16x\int 16\, dx = 16 x

        El resultado es: x520−4x33+x2ex4−xex2+16x+e2x32−3ex2\frac{x^{5}}{20} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{x^{2} e^{x}}{4} - \frac{x e^{x}}{2} + 16 x + \frac{e^{2 x}}{32} - \frac{3 e^{x}}{2}

    Por lo tanto, el resultado es: π(x520−4x33+x2ex4−xex2+16x+e2x32−3ex2)\pi \left(\frac{x^{5}}{20} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{x^{2} e^{x}}{4} - \frac{x e^{x}}{2} + 16 x + \frac{e^{2 x}}{32} - \frac{3 e^{x}}{2}\right)

  2. Ahora simplificar:

    π(24x5−640x3+120x2ex−240xex+7680x+15e2x−720ex)480\frac{\pi \left(24 x^{5} - 640 x^{3} + 120 x^{2} e^{x} - 240 x e^{x} + 7680 x + 15 e^{2 x} - 720 e^{x}\right)}{480}

  3. Añadimos la constante de integración:

    π(24x5−640x3+120x2ex−240xex+7680x+15e2x−720ex)480+constant\frac{\pi \left(24 x^{5} - 640 x^{3} + 120 x^{2} e^{x} - 240 x e^{x} + 7680 x + 15 e^{2 x} - 720 e^{x}\right)}{480}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

π(24x5−640x3+120x2ex−240xex+7680x+15e2x−720ex)480+constant\frac{\pi \left(24 x^{5} - 640 x^{3} + 120 x^{2} e^{x} - 240 x e^{x} + 7680 x + 15 e^{2 x} - 720 e^{x}\right)}{480}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                               
 |                                                                                
 |                   2                                                            
 |    /   2    x    \              /          3      x    5    2*x      x    2  x\
 |    |  x    E     |              |       4*x    3*e    x    e      x*e    x *e |
 | pi*|- -- - -- + 4|  dx = C + pi*|16*x - ---- - ---- + -- + ---- - ---- + -----|
 |    \  2    4     /              \        3      2     20    32     2       4  /
 |                                                                                
/
∫π((−ex4−x22)+4)2 dx=C+π(x520−4x33+x2ex4−xex2+16x+e2x32−3ex2)\int \pi \left(\left(- \frac{e^{x}}{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) + 4\right)^{2}\, dx = C + \pi \left(\frac{x^{5}}{20} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{x^{2} e^{x}}{4} - \frac{x e^{x}}{2} + 16 x + \frac{e^{2 x}}{32} - \frac{3 e^{x}}{2}\right)
Simplificar
Gráfica
-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0-100100
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                            -141             51       -141        102
                            -----            --       -----       ---
                              50             25         25         25
295143044733*pi   18981*pi*e        3699*pi*e     pi*e        pi*e   
--------------- - --------------- - ----------- - --------- + -------
   6250000000          10000            2500          32         32
−3699πe51252500−18981π10000e14150−π32e14125+πe1022532+295143044733π6250000000- \frac{3699 \pi e^{\frac{51}{25}}}{2500} - \frac{18981 \pi}{10000 e^{\frac{141}{50}}} - \frac{\pi}{32 e^{\frac{141}{25}}} + \frac{\pi e^{\frac{102}{25}}}{32} + \frac{295143044733 \pi}{6250000000} 
=
= 
                            -141             51       -141        102
                            -----            --       -----       ---
                              50             25         25         25
295143044733*pi   18981*pi*e        3699*pi*e     pi*e        pi*e   
--------------- - --------------- - ----------- - --------- + -------
   6250000000          10000            2500          32         32
−3699πe51252500−18981π10000e14150−π32e14125+πe1022532+295143044733π6250000000- \frac{3699 \pi e^{\frac{51}{25}}}{2500} - \frac{18981 \pi}{10000 e^{\frac{141}{50}}} - \frac{\pi}{32 e^{\frac{141}{25}}} + \frac{\pi e^{\frac{102}{25}}}{32} + \frac{295143044733 \pi}{6250000000} 
295143044733*pi/6250000000 - 18981*pi*exp(-141/50)/10000 - 3699*pi*exp(51/25)/2500 - pi*exp(-141/25)/32 + pi*exp(102/25)/32
Respuesta numérica [src] 
118.057623352408
118.057623352408

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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