Integral de π(-0.5x^2-0.25e^x+4)^2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \pi \left(\left(- \frac{e^{x}}{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) + 4\right)^{2}\, dx = \pi \int \left(\left(- \frac{e^{x}}{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) + 4\right)^{2}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\left(- \frac{e^{x}}{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) + 4\right)^{2} = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2} e^{x}}{4} - 4 x^{2} + \frac{e^{2 x}}{16} - 2 e^{x} + 16$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x^{4}}{4}\, dx = \frac{\int x^{4}\, dx}{4}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{5}}{20}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x^{2} e^{x}}{4}\, dx = \frac{\int x^{2} e^{x}\, dx}{4}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = 2 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 e^{x}\, dx = 2 \int e^{x}\, dx$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2} e^{x}}{4} - \frac{x e^{x}}{2} + \frac{e^{x}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 x^{2}\right)\, dx = - 4 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{2 x}}{16}\, dx = \frac{\int e^{2 x}\, dx}{16}$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{2 x}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 x}}{32}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 e^{x}\right)\, dx = - 2 \int e^{x}\, dx$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{x}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 16\, dx = 16 x$

         El resultado es: $\frac{x^{5}}{20} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{x^{2} e^{x}}{4} - \frac{x e^{x}}{2} + 16 x + \frac{e^{2 x}}{32} - \frac{3 e^{x}}{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\left(- \frac{e^{x}}{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) + 4\right)^{2} = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2} e^{x}}{4} - 4 x^{2} + \frac{e^{2 x}}{16} - 2 e^{x} + 16$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x^{4}}{4}\, dx = \frac{\int x^{4}\, dx}{4}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{5}}{20}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x^{2} e^{x}}{4}\, dx = \frac{\int x^{2} e^{x}\, dx}{4}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = 2 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 e^{x}\, dx = 2 \int e^{x}\, dx$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2} e^{x}}{4} - \frac{x e^{x}}{2} + \frac{e^{x}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 x^{2}\right)\, dx = - 4 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{2 x}}{16}\, dx = \frac{\int e^{2 x}\, dx}{16}$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{2 x}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 x}}{32}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 e^{x}\right)\, dx = - 2 \int e^{x}\, dx$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{x}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 16\, dx = 16 x$

         El resultado es: $\frac{x^{5}}{20} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{x^{2} e^{x}}{4} - \frac{x e^{x}}{2} + 16 x + \frac{e^{2 x}}{32} - \frac{3 e^{x}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\pi \left(\frac{x^{5}}{20} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{x^{2} e^{x}}{4} - \frac{x e^{x}}{2} + 16 x + \frac{e^{2 x}}{32} - \frac{3 e^{x}}{2}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\pi \left(24 x^{5} - 640 x^{3} + 120 x^{2} e^{x} - 240 x e^{x} + 7680 x + 15 e^{2 x} - 720 e^{x}\right)}{480}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\pi \left(24 x^{5} - 640 x^{3} + 120 x^{2} e^{x} - 240 x e^{x} + 7680 x + 15 e^{2 x} - 720 e^{x}\right)}{480}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\pi \left(24 x^{5} - 640 x^{3} + 120 x^{2} e^{x} - 240 x e^{x} + 7680 x + 15 e^{2 x} - 720 e^{x}\right)}{480}+ \mathrm{constant}$