Integral de 3e^x+2(logx)÷3x dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 e^{x}\, dx = 3 \int e^{x}\, dx$

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $3 e^{x}$

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

      $\int \frac{2 u e^{2 u}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u e^{2 u}\, du = \frac{2 \int u e^{2 u}\, du}{3}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 2 u$.

               Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{2 u}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

            1. que $u = 2 u$.

               Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{2 u}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u e^{2 u}}{3} - \frac{e^{2 u}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{2}}{6}$

   El resultado es: $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{2}}{6} + 3 e^{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{2}}{6} + 3 e^{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{2}}{6} + 3 e^{x}+ \mathrm{constant}$