Integral de dx/xsqrt(lnx)x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u^{2}}\, du = - \int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u^{2}}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \sqrt{u} e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sqrt{u} e^{u}\, du = - \int \sqrt{u} e^{u}\, du$

               UpperGammaRule(a=1, e=1/2, context=sqrt(_u)*exp(_u), symbol=_u)

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{u} \left(\sqrt{- u} e^{u} + \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{- u} \right)}}{2}\right)}{\sqrt{- u}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{- \log{\left(\frac{1}{u} \right)}} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{- \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\right) \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{\sqrt{- \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{- \log{\left(\frac{1}{u} \right)}} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{- \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\right) \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{\sqrt{- \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x \sqrt{- \log{\left(x \right)}} + \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{2}\right) \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{\sqrt{- \log{\left(x \right)}}}$

   Método #2

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int \sqrt{u} e^{u}\, du$

      UpperGammaRule(a=1, e=1/2, context=sqrt(_u)*exp(_u), symbol=_u)

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x \sqrt{- \log{\left(x \right)}} + \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{2}\right) \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{\sqrt{- \log{\left(x \right)}}}$

2. Ahora simplificar:

   $x \sqrt{\log{\left(x \right)}} + \frac{\sqrt{\pi} \sqrt{\log{\left(x \right)}} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{2 \sqrt{- \log{\left(x \right)}}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \sqrt{\log{\left(x \right)}} + \frac{\sqrt{\pi} \sqrt{\log{\left(x \right)}} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{2 \sqrt{- \log{\left(x \right)}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \sqrt{\log{\left(x \right)}} + \frac{\sqrt{\pi} \sqrt{\log{\left(x \right)}} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{2 \sqrt{- \log{\left(x \right)}}}+ \mathrm{constant}$