Integral de (a^1/3+x^1/3)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(9 a^{\frac{2}{3}} u^{3} + 9 \sqrt[3]{a} u^{4} + 3 a u^{2} + 3 u^{5}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{5}\, du = 3 \int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{6}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 9 u^{4} \sqrt[3]{a}\, du = 9 \sqrt[3]{a} \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 u^{5} \sqrt[3]{a}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 9 u^{3} a^{\frac{2}{3}}\, du = 9 a^{\frac{2}{3}} \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 u^{4} a^{\frac{2}{3}}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{2} a\, du = 3 a \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{3} a$

         El resultado es: $\frac{u^{6}}{2} + \frac{9 u^{5} \sqrt[3]{a}}{5} + \frac{9 u^{4} a^{\frac{2}{3}}}{4} + u^{3} a$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{9 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{9 \sqrt[3]{a} x^{\frac{5}{3}}}{5} + a x + \frac{x^{2}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{x}\right)^{3} = 3 a^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x} + 3 \sqrt[3]{a} x^{\frac{2}{3}} + a + x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 a^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x}\, dx = 3 a^{\frac{2}{3}} \int \sqrt[3]{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt[3]{x}\, dx = \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \sqrt[3]{a} x^{\frac{2}{3}}\, dx = 3 \sqrt[3]{a} \int x^{\frac{2}{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{2}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 \sqrt[3]{a} x^{\frac{5}{3}}}{5}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int a\, dx = a x$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      El resultado es: $\frac{9 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{9 \sqrt[3]{a} x^{\frac{5}{3}}}{5} + a x + \frac{x^{2}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{9 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{9 \sqrt[3]{a} x^{\frac{5}{3}}}{5} + a x + \frac{x^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{9 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{9 \sqrt[3]{a} x^{\frac{5}{3}}}{5} + a x + \frac{x^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$