Integral de (7*x^3+5)^8*x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 7 x^{3} + 5$.

      Luego que $du = 21 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{21}$:

      $\int \frac{u^{8}}{21}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{8}\, du = \frac{\int u^{8}\, du}{21}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{9}}{189}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(7 x^{3} + 5\right)^{9}}{189}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \left(7 x^{3} + 5\right)^{8} = 5764801 x^{26} + 32941720 x^{23} + 82354300 x^{20} + 117649000 x^{17} + 105043750 x^{14} + 60025000 x^{11} + 21437500 x^{8} + 4375000 x^{5} + 390625 x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5764801 x^{26}\, dx = 5764801 \int x^{26}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{26}\, dx = \frac{x^{27}}{27}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5764801 x^{27}}{27}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 32941720 x^{23}\, dx = 32941720 \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4117715 x^{24}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 82354300 x^{20}\, dx = 82354300 \int x^{20}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{11764900 x^{21}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 117649000 x^{17}\, dx = 117649000 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{58824500 x^{18}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 105043750 x^{14}\, dx = 105043750 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{21008750 x^{15}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 60025000 x^{11}\, dx = 60025000 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15006250 x^{12}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 21437500 x^{8}\, dx = 21437500 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{21437500 x^{9}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4375000 x^{5}\, dx = 4375000 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2187500 x^{6}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 390625 x^{2}\, dx = 390625 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{390625 x^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{5764801 x^{27}}{27} + \frac{4117715 x^{24}}{3} + \frac{11764900 x^{21}}{3} + \frac{58824500 x^{18}}{9} + \frac{21008750 x^{15}}{3} + \frac{15006250 x^{12}}{3} + \frac{21437500 x^{9}}{9} + \frac{2187500 x^{6}}{3} + \frac{390625 x^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(7 x^{3} + 5\right)^{9}}{189}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(7 x^{3} + 5\right)^{9}}{189}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(7 x^{3} + 5\right)^{9}}{189}+ \mathrm{constant}$