Integral de (0,5x+1)^5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{x}{2} + 1$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 u^{5}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{5}\, du = 2 \int u^{5}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{6}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\frac{x}{2} + 1\right)^{6}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\frac{x}{2} + 1\right)^{5} = \frac{x^{5}}{32} + \frac{5 x^{4}}{16} + \frac{5 x^{3}}{4} + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{5 x}{2} + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{5}}{32}\, dx = \frac{\int x^{5}\, dx}{32}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{6}}{192}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 x^{4}}{16}\, dx = \frac{5 \int x^{4}\, dx}{16}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{5}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 x^{3}}{4}\, dx = \frac{5 \int x^{3}\, dx}{4}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{4}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 x^{2}}{2}\, dx = \frac{5 \int x^{2}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{3}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 x}{2}\, dx = \frac{5 \int x\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{2}}{4}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $\frac{x^{6}}{192} + \frac{x^{5}}{16} + \frac{5 x^{4}}{16} + \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{4} + x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x + 2\right)^{6}}{192}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x + 2\right)^{6}}{192}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 2\right)^{6}}{192}+ \mathrm{constant}$