Integral de sin^3(6x)cos6x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sin{\left(6 x \right)}$.

      Luego que $du = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

      $\int \frac{u^{3}}{6}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{3}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{6}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{24}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin^{4}{\left(6 x \right)}}{24}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin^{3}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(6 x \right)}\right) \sin{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}$

   2. que $u = - \cos^{2}{\left(6 x \right)}$.

      Luego que $du = 12 \sin{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{u}{12} + \frac{1}{12}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{12}\, du = \frac{\int u\, du}{12}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{24}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{12}\, du = \frac{u}{12}$

         El resultado es: $\frac{u^{2}}{24} + \frac{u}{12}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\cos^{4}{\left(6 x \right)}}{24} - \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{12}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sin^{4}{\left(6 x \right)}}{24}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sin^{4}{\left(6 x \right)}}{24}+ \mathrm{constant}$