Integral de e^(2*x+1)*dx/(e^x+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $e du$:

      $\int \frac{e u}{u + 1}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{u + 1}\, du = e \int \frac{u}{u + 1}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

               1. que $u = u + 1$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u + 1 \right)}$

            El resultado es: $u - \log{\left(u + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $e \left(u - \log{\left(u + 1 \right)}\right)$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $e \left(e^{x} - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}\right)$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{2 x + 1}}{e^{x} + 1} = \frac{e e^{2 x}}{e^{x} + 1}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{e e^{2 x}}{e^{x} + 1}\, dx = e \int \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1}\, dx$

      1. que $u = e^{x}$.

         Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u}{u + 1}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

               1. que $u = u + 1$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u + 1 \right)}$

            El resultado es: $u - \log{\left(u + 1 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $e^{x} - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $e \left(e^{x} - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}\right)$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{2 x + 1}}{e^{x} + 1} = \frac{e e^{2 x}}{e^{x} + 1}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{e e^{2 x}}{e^{x} + 1}\, dx = e \int \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1}\, dx$

      1. que $u = e^{x}$.

         Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u}{u + 1}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

               1. que $u = u + 1$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u + 1 \right)}$

            El resultado es: $u - \log{\left(u + 1 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $e^{x} - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $e \left(e^{x} - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $e \left(e^{x} - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $e \left(e^{x} - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$e \left(e^{x} - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}\right)+ \mathrm{constant}$