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Resolución de integrales/ e(-x)/ e^(x)/ e^(-x)/ (e^(x)-e(-x))/(-2e^(-x))

Integral de (e^(x)-e(-x))/(-2e^(-x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |   x            
 |  E  - E*(-x)   
 |  ----------- dx
 |         -x     
 |     -2*E       
 |                
/                 
0
∫01ex−e(−x)(−1)2e−x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{e^{x} - e \left(- x\right)}{\left(-1\right) 2 e^{- x}}\, dx 
Integral((E^x - E*(-x))/((-2*exp(-x))), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

      ∫(−(eueu−1)e−2u2) du\int \left(- \frac{\left(e u e^{u} - 1\right) e^{- 2 u}}{2}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(ueeu−1)e−2u du=−∫(ueeu−1)e−2u du2\int \left(u e e^{u} - 1\right) e^{- 2 u}\, du = - \frac{\int \left(u e e^{u} - 1\right) e^{- 2 u}\, du}{2}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (ueeu−1)e−2u=uee−u−e−2u\left(u e e^{u} - 1\right) e^{- 2 u} = u e e^{- u} - e^{- 2 u}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫uee−u du=e∫ue−u du\int u e e^{- u}\, du = e \int u e^{- u}\, du

            1. que u=−uu = - u.

              Luego que du=−dudu = - du y ponemos dudu:

              ∫ueu du\int u e^{u}\, du

              1. Usamos la integración por partes:

                ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

                que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

                Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

                Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Ahora resolvemos podintegral.

              2. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −ue−u−e−u- u e^{- u} - e^{- u}

            Por lo tanto, el resultado es: e(−ue−u−e−u)e \left(- u e^{- u} - e^{- u}\right)

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−e−2u) du=−∫e−2u du\int \left(- e^{- 2 u}\right)\, du = - \int e^{- 2 u}\, du

            1. que u=−2uu = - 2 u.

              Luego que du=−2dudu = - 2 du y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

              ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −e−2u2- \frac{e^{- 2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e−2u2\frac{e^{- 2 u}}{2}

          El resultado es: e(−ue−u−e−u)+e−2u2e \left(- u e^{- u} - e^{- u}\right) + \frac{e^{- 2 u}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −e(−ue−u−e−u)2−e−2u4- \frac{e \left(- u e^{- u} - e^{- u}\right)}{2} - \frac{e^{- 2 u}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −e(xex−ex)2−e2x4- \frac{e \left(x e^{x} - e^{x}\right)}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ex−e(−x)(−1)2e−x=−exex2−e2x2\frac{e^{x} - e \left(- x\right)}{\left(-1\right) 2 e^{- x}} = - \frac{e x e^{x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−exex2) dx=−e∫xex dx2\int \left(- \frac{e x e^{x}}{2}\right)\, dx = - \frac{e \int x e^{x}\, dx}{2}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de la función exponencial es la mesma.

          ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

        Por lo tanto, el resultado es: −e(xex−ex)2- \frac{e \left(x e^{x} - e^{x}\right)}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−e2x2) dx=−∫e2x dx2\int \left(- \frac{e^{2 x}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int e^{2 x}\, dx}{2}

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −e2x4- \frac{e^{2 x}}{4}

      El resultado es: −e(xex−ex)2−e2x4- \frac{e \left(x e^{x} - e^{x}\right)}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ex−e(−x)(−1)2e−x=−exex2−e2x2\frac{e^{x} - e \left(- x\right)}{\left(-1\right) 2 e^{- x}} = - \frac{e x e^{x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−exex2) dx=−e∫xex dx2\int \left(- \frac{e x e^{x}}{2}\right)\, dx = - \frac{e \int x e^{x}\, dx}{2}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de la función exponencial es la mesma.

          ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

        Por lo tanto, el resultado es: −e(xex−ex)2- \frac{e \left(x e^{x} - e^{x}\right)}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−e2x2) dx=−∫e2x dx2\int \left(- \frac{e^{2 x}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int e^{2 x}\, dx}{2}

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −e2x4- \frac{e^{2 x}}{4}

      El resultado es: −e(xex−ex)2−e2x4- \frac{e \left(x e^{x} - e^{x}\right)}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    −(2e(x−1)+ex)ex4- \frac{\left(2 e \left(x - 1\right) + e^{x}\right) e^{x}}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −(2e(x−1)+ex)ex4+constant- \frac{\left(2 e \left(x - 1\right) + e^{x}\right) e^{x}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−(2e(x−1)+ex)ex4+constant- \frac{\left(2 e \left(x - 1\right) + e^{x}\right) e^{x}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                           
 |                                            
 |  x                    2*x     /   x      x\
 | E  - E*(-x)          e      E*\- e  + x*e /
 | ----------- dx = C - ---- - ---------------
 |        -x             4            2       
 |    -2*E                                    
 |                                            
/
∫ex−e(−x)(−1)2e−x dx=C−e(xex−ex)2−e2x4\int \frac{e^{x} - e \left(- x\right)}{\left(-1\right) 2 e^{- x}}\, dx = C - \frac{e \left(x e^{x} - e^{x}\right)}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
         2
1   E   e 
- - - - --
4   2   4
−e24−e2+14- \frac{e^{2}}{4} - \frac{e}{2} + \frac{1}{4} 
=
= 
         2
1   E   e 
- - - - --
4   2   4
−e24−e2+14- \frac{e^{2}}{4} - \frac{e}{2} + \frac{1}{4} 
1/4 - E/2 - exp(2)/4
Respuesta numérica [src] 
-2.95640493896219
-2.95640493896219

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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