Integral de (e^(x)-e(-x))/(-2e^(-x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{\left(e u e^{u} - 1\right) e^{- 2 u}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(u e e^{u} - 1\right) e^{- 2 u}\, du = - \frac{\int \left(u e e^{u} - 1\right) e^{- 2 u}\, du}{2}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(u e e^{u} - 1\right) e^{- 2 u} = u e e^{- u} - e^{- 2 u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u e e^{- u}\, du = e \int u e^{- u}\, du$

               1. que $u = - u$.

                  Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

                  $\int u e^{u}\, du$

                  1. Usamos la integración por partes:

                     $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                     que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                     Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                     Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Ahora resolvemos podintegral.

                  2. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- u e^{- u} - e^{- u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $e \left(- u e^{- u} - e^{- u}\right)$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- e^{- 2 u}\right)\, du = - \int e^{- 2 u}\, du$

               1. que $u = - 2 u$.

                  Luego que $du = - 2 du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

                  $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{e^{- 2 u}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{- 2 u}}{2}$

            El resultado es: $e \left(- u e^{- u} - e^{- u}\right) + \frac{e^{- 2 u}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e \left(- u e^{- u} - e^{- u}\right)}{2} - \frac{e^{- 2 u}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{e \left(x e^{x} - e^{x}\right)}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x} - e \left(- x\right)}{\left(-1\right) 2 e^{- x}} = - \frac{e x e^{x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e x e^{x}}{2}\right)\, dx = - \frac{e \int x e^{x}\, dx}{2}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e \left(x e^{x} - e^{x}\right)}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e^{2 x}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int e^{2 x}\, dx}{2}$

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{2 x}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{2 x}}{4}$

      El resultado es: $- \frac{e \left(x e^{x} - e^{x}\right)}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x} - e \left(- x\right)}{\left(-1\right) 2 e^{- x}} = - \frac{e x e^{x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e x e^{x}}{2}\right)\, dx = - \frac{e \int x e^{x}\, dx}{2}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e \left(x e^{x} - e^{x}\right)}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e^{2 x}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int e^{2 x}\, dx}{2}$

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{2 x}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{2 x}}{4}$

      El resultado es: $- \frac{e \left(x e^{x} - e^{x}\right)}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(2 e \left(x - 1\right) + e^{x}\right) e^{x}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(2 e \left(x - 1\right) + e^{x}\right) e^{x}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(2 e \left(x - 1\right) + e^{x}\right) e^{x}}{4}+ \mathrm{constant}$