Integral de (e^sin5x)*cos5x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sin{\left(5 x \right)}$.

      Luego que $du = 5 \cos{\left(5 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{e^{\sin{\left(5 x \right)}}}{5}$

   Método #2

   1. que $u = 5 x$.

      Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{e^{\sin{\left(u \right)}} \cos{\left(u \right)}}{5}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e^{\sin{\left(u \right)}} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int e^{\sin{\left(u \right)}} \cos{\left(u \right)}\, du}{5}$

         1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

            $\int e^{u}\, du$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $e^{\sin{\left(u \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{\sin{\left(u \right)}}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{e^{\sin{\left(5 x \right)}}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{e^{\sin{\left(5 x \right)}}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{e^{\sin{\left(5 x \right)}}}{5}+ \mathrm{constant}$