Sr Examen
Integral de (2x-3)/(8-2x+x^2) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 2*x - 3 | ------------ dx | 2 | 8 - 2*x + x | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x - 3}{x^{2} + \left(8 - 2 x\right)}\, dx$$
Integral((2*x - 3)/(8 - 2*x + x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 2*x - 3 | ------------ dx | 2 | 8 - 2*x + x | /
Reescribimos la función subintegral
/-1 \
|---|
2*x - 3 2*x - 2 \ 7 /
------------ = ------------ + ------------------------
2 2 2
8 - 2*x + x x - 2*x + 8 / ___ ___\
|-\/ 7 \/ 7 |
|-------*x + -----| + 1
\ 7 7 / o
/ | | 2*x - 3 | ------------ dx | 2 = | 8 - 2*x + x | /
/
|
| 1
| ------------------------ dx
| 2
| / ___ ___\
| |-\/ 7 \/ 7 |
| |-------*x + -----| + 1
| \ 7 7 / /
| |
/ | 2*x - 2
- ------------------------------ + | ------------ dx
7 | 2
| x - 2*x + 8
|
/ En integral
/ | | 2*x - 2 | ------------ dx | 2 | x - 2*x + 8 | /
hacemos el cambio
2 u = x - 2*x
entonces
integral =
/ | | 1 | ----- du = log(8 + u) | 8 + u | /
hacemos cambio inverso
/ | | 2*x - 2 / 2 \ | ------------ dx = log\8 + x - 2*x/ | 2 | x - 2*x + 8 | /
En integral
/
|
| 1
- | ------------------------ dx
| 2
| / ___ ___\
| |-\/ 7 \/ 7 |
| |-------*x + -----| + 1
| \ 7 7 /
|
/
--------------------------------
7 hacemos el cambio
___ ___
\/ 7 x*\/ 7
v = ----- - -------
7 7 entonces
integral =
/
|
| 1
- | ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ -atan(v)
-------------- = ---------
7 7 hacemos cambio inverso
/
|
| 1
- | ------------------------ dx
| 2
| / ___ ___\
| |-\/ 7 \/ 7 |
| |-------*x + -----| + 1 / ___ ___\
| \ 7 7 / ___ | \/ 7 x*\/ 7 |
| -\/ 7 *atan|- ----- + -------|
/ \ 7 7 /
-------------------------------- = -------------------------------
7 7 La solución:
/ ___ ___\
___ | \/ 7 x*\/ 7 |
\/ 7 *atan|- ----- + -------|
\ 7 7 / / 2 \
C - ----------------------------- + log\8 + x - 2*x/
7
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ ___ \ / ___ |\/ 7 *(-1 + x)| | \/ 7 *atan|--------------| | 2*x - 3 \ 7 / / 2 \ | ------------ dx = C - -------------------------- + log\8 + x - 2*x/ | 2 7 | 8 - 2*x + x | /
$$\int \frac{2 x - 3}{x^{2} + \left(8 - 2 x\right)}\, dx = C + \log{\left(x^{2} - 2 x + 8 \right)} - \frac{\sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7} \left(x - 1\right)}{7} \right)}}{7}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
/ ___\
___ |\/ 7 |
\/ 7 *atan|-----|
\ 7 /
-log(8) - ----------------- + log(7)
7
$$- \log{\left(8 \right)} - \frac{\sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}}{7} + \log{\left(7 \right)}$$
=
=
/ ___\
___ |\/ 7 |
\/ 7 *atan|-----|
\ 7 /
-log(8) - ----------------- + log(7)
7
$$- \log{\left(8 \right)} - \frac{\sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}}{7} + \log{\left(7 \right)}$$
-log(8) - sqrt(7)*atan(sqrt(7)/7)/7 + log(7)
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.