Integral de (5+4sinx)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(4 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2} = 16 \sin^{2}{\left(x \right)} + 40 \sin{\left(x \right)} + 25$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 16 \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = 16 \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8 x - 4 \sin{\left(2 x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 40 \sin{\left(x \right)}\, dx = 40 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 40 \cos{\left(x \right)}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 25\, dx = 25 x$

      El resultado es: $33 x - 4 \sin{\left(2 x \right)} - 40 \cos{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(4 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2} = 16 \sin^{2}{\left(x \right)} + 40 \sin{\left(x \right)} + 25$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 16 \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = 16 \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8 x - 4 \sin{\left(2 x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 40 \sin{\left(x \right)}\, dx = 40 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 40 \cos{\left(x \right)}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 25\, dx = 25 x$

      El resultado es: $33 x - 4 \sin{\left(2 x \right)} - 40 \cos{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $33 x - 4 \sin{\left(2 x \right)} - 40 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$33 x - 4 \sin{\left(2 x \right)} - 40 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$