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Resolución de integrales/ 1-x^2/ x^3/(1-x^2)

Integral de x^3/(1-x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1          
  /          
 |           
 |     3     
 |    x      
 |  ------ dx
 |       2   
 |  1 - x    
 |           
/            
0
∫01x31−x2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{3}}{1 - x^{2}}\, dx 
Integral(x^3/(1 - x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=x2u = x^{2}.

      Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos −du- du:

      ∫(−u2u−2) du\int \left(- \frac{u}{2 u - 2}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u2u−2 du=−∫u2u−2 du\int \frac{u}{2 u - 2}\, du = - \int \frac{u}{2 u - 2}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u2u−2=12+12(u−1)\frac{u}{2 u - 2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12(u−1) du=∫1u−1 du2\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}

            1. que u=u−1u = u - 1.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u−1)\log{\left(u - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u−1)2\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}

          El resultado es: u2+log⁡(u−1)2\frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −u2−log⁡(u−1)2- \frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −x22−log⁡(x2−1)2- \frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x31−x2=−x−12(x+1)−12(x−1)\frac{x^{3}}{1 - x^{2}} = - x - \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} - \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x) dx=−∫x dx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −x22- \frac{x^{2}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−12(x+1)) dx=−∫1x+1 dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)2- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−12(x−1)) dx=−∫1x−1 dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−1)2- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}

      El resultado es: −x22−log⁡(x−1)2−log⁡(x+1)2- \frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x31−x2=−x3x2−1\frac{x^{3}}{1 - x^{2}} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−x3x2−1) dx=−∫x3x2−1 dx\int \left(- \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}\, dx

      1. que u=x2u = x^{2}.

        Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos dudu:

        ∫u2u−2 du\int \frac{u}{2 u - 2}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u2u−2=12+12(u−1)\frac{u}{2 u - 2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12(u−1) du=∫1u−1 du2\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}

            1. que u=u−1u = u - 1.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u−1)\log{\left(u - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u−1)2\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}

          El resultado es: u2+log⁡(u−1)2\frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x22+log⁡(x2−1)2\frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −x22−log⁡(x2−1)2- \frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −x22−log⁡(x2−1)2+constant- \frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x22−log⁡(x2−1)2+constant- \frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                 
 |                                  
 |    3             2      /      2\
 |   x             x    log\-1 + x /
 | ------ dx = C - -- - ------------
 |      2          2         2      
 | 1 - x                            
 |                                  
/
∫x31−x2 dx=C−x22−log⁡(x2−1)2\int \frac{x^{3}}{1 - x^{2}}\, dx = C - \frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9005000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     pi*I
oo + ----
      2
∞+iπ2\infty + \frac{i \pi}{2} 
=
= 
     pi*I
oo + ----
      2
∞+iπ2\infty + \frac{i \pi}{2} 
oo + pi*i/2
Respuesta numérica [src] 
21.1989048028269
21.1989048028269

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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