Integral de 2xarctgxdx dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 2 x$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}$

3. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

      PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 1), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

   El resultado es: $x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)} - x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)} - x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$